拉格朗日恆等式

在代數中，以約瑟夫·拉格朗日命名的拉格朗日恆等式是：^[1][2]

${\displaystyle {\begin{aligned}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}{\biggr )}-{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}{\biggr )}^{2}&=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}\\&{\biggl (}={\frac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1,j\neq i}^{n}(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i})^{2}{\biggr )},\end{aligned}}}$

應用於任意兩個實數或複數集合（或者更一般地，一個交換環的元素）{a₁, a₂, . . ., a_n} and {b₁, b₂, . . ., b_n}。這個恆等式是婆羅摩笈多－斐波那契恆等式的推廣，同時也是Binet–Cauchy恆等式的特殊形式。

用一個更為簡潔的向量形式表示，Lagrange恆等式就是：^[3]

${\displaystyle \|\mathbf {a} \|^{2}\ \|\mathbf {b} \|^{2}-(\mathbf {a\cdot b} )^{2}=\sum _{1\leq i<j\leq n}\left(a_{i}b_{j}-a_{j}b_{i}\right)^{2}\ ,}$

其中a和b是由實數構成的n維向量。向複數的引申需要將點積理解為內積或者Hermitian點積。準確的說，對於複數，Lagrange恆等式可以寫成以下形式：^[4]

${\displaystyle {\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|a_{k}|^{2}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}|b_{k}|^{2}{\biggr )}-{\biggl |}\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}{\biggr |}^{2}=\sum _{i=1}^{n-1}\sum _{j=i+1}^{n}|a_{i}{\overline {b}}_{j}-a_{j}{\overline {b}}_{i}|^{2}}$

用到複數的模^[5]

拉格朗日恆等式和外代數

拉格朗日恆等式用楔積可以寫成

${\displaystyle (a\cdot a,b\cdot b)-(a\cdot b)^{2}=(a\wedge b)\cdot (a\wedge b)}$。

因此，它可以看作是一個以點積形式給出兩個向量楔積的公式，也就是由它們定義的平行四邊形，即

${\displaystyle \|a\wedge b\|={\sqrt {(\|a\|\ \|b\|)^{2}-\|a\cdot b\|^{2}}}}$。