指數型

在複分析中，一個全純函數被稱為是指數型C的，如果存在實常數C使得當|z|→∞時，該函數的增長被限定於指數函數e^C|z|。

基本思想

定義在複平面上的函數f(z)被稱為是指數型的，如果存在實常數M和τ使得當${\displaystyle r\to \infty }$時，

${\displaystyle |f(re^{i\theta })|\leq Me^{\tau r}}$。

這裡，復變量z被特意寫成${\displaystyle z=re^{i\theta }}$的形式，以強調這個約束必須在所有方向θ上滿足。若用τ表示所有滿足條件的τ的下確界，我們就稱函數f是指數型τ的。

例如，我們可以稱${\displaystyle f(z)=\sin(\pi z)}$為指數型π的，因為π是在虛軸上可以界定住${\displaystyle \sin(\pi z)}$的增長的最小的數（並且在其他方向上也可以被π界定住）。因此，卡爾森定理對這個樣例不適用，因為它要求函數的指數型嚴格小於π。類似地，歐拉-麥克勞林公式也不適用，因為它也表達了一個根植於差分理論的定理。