指標的上升和下降

在數學與數學物理中，給定流形 M 上一個張量，若在 M 已有一個非退化形式（比如黎曼度量或閔可夫斯基度量），我們可將指標上升或下降：將一個 ${\displaystyle (k,l)}$ 張量變成一個 ${\displaystyle (k+1,l-1)}$ 張量（上升）或一個 ${\displaystyle (k-1,l+1)}$ 張量（下降）。 這裡記號 ${\displaystyle (k,l)}$ 用於表示張量的秩 ${\displaystyle k+l}$，有 ${\displaystyle k}$ 個上指標和 ${\displaystyle l}$ 個下指標。

可以這樣做：將張量乘以共變或反變度量張量，然後做縮並。下文在對重複指標 ${\displaystyle j}$ 求和時使用愛因斯坦記號。

乘以反變度量張量（然後縮並）上升指標：

${\displaystyle g^{ij}A_{j}=A^{i},}$

而乘以共變度量張量（然後縮並）下降指標：

${\displaystyle g_{ij}A^{j}=A_{i},}$

對同一個指標先上升然後下降（或順序相反）得到原來的張量，這反應了共變度量張量與反變度量張量互逆：

${\displaystyle g^{ij}g_{ji}=g_{ij}g^{ji}=g_{i}^{i}=Trg=N.}$

這裡 N 是流形的維數。注意下降一個指標不要求形式非奇異，但相反的過程需要非奇異條件。

廣義相對論中的例子

閔可夫斯基空間具有度量張量

${\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{pmatrix}}}$

共變電磁張量由下式給出

${\displaystyle F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}$

注意：一些教材，比如 Griffiths^[1]，可能有一個因子 -1。這是因為他們使用了度量張量與此處差一個符號，參見度量符號。老教材比如 Jackson 2ed 沒有因子 c；他們使用高斯單位，這裡使用國際單位制。

為了得到共變張量 ${\displaystyle F_{\mu \nu }\,}$，我們用

${\displaystyle F_{\mu \nu }=g_{\mu \kappa }g_{\nu \lambda }F^{\kappa \lambda }\,}$

注意因為 ${\displaystyle g_{\mu \nu }\,}$ 是對角的，上式中許多項其實沒有：

${\displaystyle F_{\mu \nu }=g_{\mu \mu }g_{\nu \nu }F^{\mu \nu }\,}$

對指標 1、2、3 使用拉丁字母：

${\displaystyle F_{ij}=g_{ii}g_{jj}F^{ij}=F^{ij}\,}$

因為度量張量中的因子都是 -1。

${\displaystyle F_{ii}=(g_{ii})^{2}F^{ii}=F^{ii}\,}$

${\displaystyle F_{0i}=g_{00}g_{ii}F^{0i}=-F^{0i}\,}$

類似

${\displaystyle F_{i0}=-F^{i0}\,}$

將它們放在一起，我們得到：

${\displaystyle F_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}}$