数学形态学

數學形態學（Mathematical morphology） 是一門建立在格論和拓撲學基礎之上的圖像分析學科，是數學形態學圖像處理的基本理論。其基本的運算包括：腐蝕和膨脹、開運算和閉運算、骨架抽取、極限腐蝕、擊中擊不中變換、形態學梯度、Top-hat變換、顆粒分析、流域變換等。

二值形態學

在二值形態學中，一個圖案被看做是 ${\displaystyle n}$ 維歐幾里得空間 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ 或網格 ${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}}$的子集。

結構元素

在二值結構學中，結構元素為一個二值影像，作為分析影像時使用的「探針」，代表當處理影像上的某點時、要取出周圍的哪些點進行運算。^[1]

以下是幾個常用的結構元素(將原圖寫作A、結構元素寫作B)：

• 待處理影像為二維類比影像 ${\displaystyle A\in E=\mathbb {R} ^{2}}$，使用的結構元素B為一以原點為圓心、半徑為r的圓盤。
• 待處理影像為二維類比影像 ${\displaystyle A\in E=\mathbb {R} ^{2}}$，使用的結構元素B為一以原點為中心的3x3方形。
• 待處理影像為二維類比影像 ${\displaystyle A\in E=\mathbb {R} ^{2}}$，使用的結構元素B為一以原點為中心的十字形，或寫作${\displaystyle B=\{(-1,0),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,0)\}}$。

基礎運算子

二值形態學的基礎運算子為具平移對稱性的、與閔可夫斯基和直接相關的運算子。基礎運算子包含膨脹、腐蝕，以及由前兩者組合而成的開運算、閉運算。

膨脹

膨脹(Dilation)的定義為「位於某個點的探針(結構元素)是否有探測到物件？」一個影像A經過結構元素B膨脹後的結果可寫為：^[1]

${\displaystyle A\oplus B=\{x|B_{x}\cap A\neq \emptyset \}}$.

其中${\displaystyle B_{x}=\{x+b|b\in B\}}$，代表結構元素平移x後的點集合，b是圖像B的元素的坐標。

另外也可寫為：

${\displaystyle A\oplus B=\bigcup _{b\in B}A_{-b}}$.

同上，其中${\displaystyle A_{-b}}$是指二值影像A經過平移-b後新的點集合。

腐蝕

腐蝕(Erosion)的定義為「位於某個點的探針(結構元素)是否全都有探測到物件？」一個影像A經過結構元素B腐蝕後的結果可寫為：^[1]

${\displaystyle A\ominus B=\{x|B_{x}\subseteq A\}=\bigcap _{b\in B}A_{-b}}$.

開運算、閉運算

開運算(Opening)與閉運算(Closing)是使用相同結構函數的腐蝕與膨脹的組合：

開運算為先腐蝕再膨脹，

${\displaystyle A\circ B=(A\ominus B)\oplus B}$.

閉運算為先膨脹再腐蝕

${\displaystyle A\bullet B=(A\oplus B)\ominus B}$.

基礎運算子的性質

• 所有的運算子具有平移對稱性（英語：Translational_symmetry）
• 所有的運算子都是遞增的，例：如果 ${\displaystyle A\subseteq C}$，則 ${\displaystyle A\oplus B\subseteq C\oplus B}$ 且 ${\displaystyle A\ominus B\subseteq C\ominus B}$
• 膨脹具有交換律，例：${\displaystyle A\oplus B=B\oplus A}$
• 膨脹具有結合律，例：${\displaystyle (A\oplus B)\oplus C=A\oplus (B\oplus C)}$；另外腐蝕則為 ${\displaystyle (A\ominus B)\ominus C=A\ominus (B\oplus C)}$
• 如果B包含原點(0,0)，則有 ${\displaystyle A\ominus B\subseteq A\circ B\subseteq A\subseteq A\bullet B\subseteq A\oplus B}$
• 膨脹與腐蝕間的關係為：${\displaystyle A\oplus B=(A^{c}\ominus B^{s})^{c}}$，上標${\displaystyle ^{c}}$代表補集，上標${\displaystyle ^{s}}$代表對原點的點對稱集合。
• 開運算與閉運算間的關係為：${\displaystyle A\bullet B=(A^{c}\circ B^{s})^{c}}$
• 膨脹對聯集有分配律，例：${\displaystyle A\oplus (B\cup C)=(A\oplus B)\cup (A\oplus C)}$；腐蝕對交集有分配律，例：${\displaystyle A\ominus (B\cap C)=(A\ominus B)\cap (A\ominus C)}$
• 膨脹與腐蝕為彼此的廣義逆運算：${\displaystyle A\subseteq (C\ominus B)}$ 若且為若 ${\displaystyle (A\oplus B)\subseteq C}$
• 開運算與閉運算是冪等的：${\displaystyle (A\bullet B)\bullet B=A\bullet B}$

歷史

數學形態學誕生於1964年，由當時國立巴黎高等礦業學校的馬瑟榮（G. Matheron）和賽拉（J. Serra）兩人共同奠定了其理論基礎。1968年4月法國楓丹白露數學形態學研究中心成立，巴黎礦業學院為中心提供了研究基地。

20世紀數學形態學的發展過程可大致分為：

• 60年代的孕育和形成期
• 70年代的充實和發展期
• 80年代的成熟和對外開放期
• 90年代至今的擴展期