斯圖爾特定理

斯圖爾特定理（英語：Stewart's Theorem），或譯史都華定理、斯特瓦爾特定理、斯圖沃特定理^{[來源請求]}，又稱為阿波羅尼奧斯定理。它說明： 在三角形${\displaystyle ABC}$的邊${\displaystyle BC}$上任意取一點${\displaystyle P}$，則：

${\displaystyle {\overline {PC}}\ {\overline {AB}}^{2}+{\overline {PB}}\ {\overline {AC}}^{2}=({\overline {PB}}+{\overline {PC}})({\overline {PA}}^{2}+{\overline {PB}}\ {\overline {PC}})}$。

斯圖爾特定理

該定理由蘇格蘭數學家馬修·斯圖爾特（英語：Matthew Stewart (mathematician)）在1746年發表。這個定理以他的名字命名，來紀念他的貢獻。^[1]

證明

設a與p的交點為P。 對互補角APB和APC應用餘弦定理，可得：

${\displaystyle b^{2}=p^{2}+y^{2}-2py\cos {\theta }\,}$

${\displaystyle c^{2}=p^{2}+x^{2}+2px\cos {\theta }.\,}$

把第一個等式乘以x，把第二個等式乘以y ：

${\displaystyle xb^{2}=xp^{2}+xy^{2}-2pxy\cos {\theta }\,}$

${\displaystyle yc^{2}=yp^{2}+yx^{2}+2pxy\cos {\theta }.\,}$

兩式相加，得：

${\displaystyle xb^{2}+yc^{2}=(x+y)p^{2}+xy(x+y),\,}$

證畢。