施泰納-萊穆斯定理

施泰納-萊穆斯定理（Steiner–Lehmus theorem）是平面幾何的一個定理：兩條內角平分線相等的三角形是等腰三角形。該命題看似顯而易見，但直到19世紀上半葉才得到明確的幾何證明，隨後成為平面幾何領域最受歡迎的證明題之一。該定理以德國數學家C·L·萊穆斯（英語：C. L. Lehmus）和瑞士數學家雅各布·施泰納（英語：Jakob Steiner）命名，兩人在通信中最早提出和解決了該問題。

${\displaystyle \alpha =\beta ,\;\gamma =\delta ,\;AE=BD}$${\displaystyle \;\Rightarrow \;}$${\displaystyle \triangle ABC}$是等腰三角形

施泰納-萊穆斯定理的結論並不能推廣到外角平分線上。也就是說，兩條外角平分線相等的三角形不一定是等腰三角形。

歷史

在平面幾何中，「等腰三角形的兩條內角平分線相等」，是一個非常容易得到的結論。該命題的逆命題，「兩條內角平分線相等的三角形是等腰三角形」，則沒有看上去那麼容易證明。1840年，德國數學家C·L·萊穆斯（英語：C. L. Lehmus）寫信給瑞士數學家、幾何學權威雅各布·施泰納（英語：Jakob Steiner），詢問是否能給出一個純幾何的證明。施泰納解決了問題，不過直到1844年才公開發表。第一個公開證明來自法國路易大帝中學的學生魯熱萬（Rougevin），發表在1842年的《新數學年鑑（法語：Nouvelles annales de mathématiques）》上。1850年，萊穆斯也給出了自己的證明。^{[1][2][3][4][5]}

19世紀40年代起的一百多年裡，關於施泰納-萊穆斯定理的幾何證明大量湧現，有上百個之多。絕大多數證明都依賴於反證法，即先假定兩內角平分線相等的三角形不等腰，其中一個內角大於另一個，然後推出矛盾的結論。於是，關注點變成了，施泰納-萊穆斯定理是否有「直接」的幾何證明法，以及怎樣的證明才算得上是「直接」。不過也有人認為，拒絕反證法的「純粹主義」並沒有什麼意義。^[5]

證明

反證法

反證法

在 ${\displaystyle \triangle ABC}$ 中，兩條內角平分線 ${\displaystyle CE=BD}$ 。

假設 ${\displaystyle \angle ABC\neq \angle ACB}$ ，令 ${\displaystyle \angle ABC=2\alpha <\angle ACB=2\beta }$ 。

在線段 ${\displaystyle AB}$ 上取點 ${\displaystyle G}$，使 ${\displaystyle \angle ECG=\alpha }$， ${\displaystyle CG}$ 交 ${\displaystyle BD}$ 於點 ${\displaystyle F}$ 。

${\displaystyle \triangle CEG\sim \triangle BFG}$${\displaystyle \;\Rightarrow \;}$${\displaystyle {CG \over BG}={CE \over BF}={BD \over BF}>1}$${\displaystyle \;\Rightarrow \;}$${\displaystyle CG>BG}$${\displaystyle \;\Rightarrow \;}$${\displaystyle \angle CBG>\angle BCG}$${\displaystyle \;\Rightarrow \;}$${\displaystyle \alpha >\beta }$

結論與假設矛盾，故假設不成立。故 ${\displaystyle \angle ABC=\angle ACB}$ 。^[5]

直接證明

直接證明法

在 ${\displaystyle \triangle ABC}$ 中，兩條內角平分線 ${\displaystyle BE=CD}$ 。記 ${\displaystyle \angle CBE=\angle ABE=\alpha }$ ，${\displaystyle \angle BCD=\angle ACD=\beta }$ 。

做直線 ${\displaystyle EF}$ ，使 ${\displaystyle \angle BEF=\beta }$。做直線 ${\displaystyle BF}$ ，使 ${\displaystyle \angle EBF=\angle CDB=180^{\circ }-2\alpha -\beta }$ 。

${\displaystyle \triangle BEF\cong \triangle DCB}$${\displaystyle \;\Rightarrow \;}$${\displaystyle {\begin{cases}BF=DB\\EF=CB\\\end{cases}}}$

${\displaystyle {\begin{cases}EF=CB\\CF=CF\\\angle CBF=\angle FEC=180^{\circ }-\alpha -\beta >90^{\circ }\\\end{cases}}}$${\displaystyle \;\Rightarrow \;}$${\displaystyle \triangle CBF\cong \triangle FEC}$${\displaystyle \;\Rightarrow \;}$${\displaystyle BF=EC}$

${\displaystyle EC=BF=DB}$${\displaystyle \;\Rightarrow \;}$${\displaystyle \triangle DBC\cong \triangle ECB}$${\displaystyle \;\Rightarrow \;}$${\displaystyle \angle ABC=\angle ACB}$

該證明方法由F. G. Hesse於1874年發表。不過，該證明方法所用到的一些構造和定理，如「三角形內角和為180度」，本身需要用反證法去證明，因此一些純粹主義者認為這一證明還是不夠直接。^[6]

代數證明

利用角平分線長公式，可以簡潔地證明施泰納-萊穆斯定理。^[7]

${\displaystyle t_{a}=t_{b}\ \,\Rightarrow \ \,{\sqrt {bc(1-{a^{2} \over (b+c)^{2}})}}={\sqrt {ac(1-{b^{2} \over (a+c)^{2}})}}}$

化簡後得到： ${\displaystyle c(a+b+c)(a-b)[(a+b)(c^{2}+ab)+3abc+c^{3}]=0}$

連乘的其他各項都為正數，從而推出： ${\displaystyle a-b=0}$

外角平分線問題

兩條外角平分線相等的不等腰三角形。易證 ${\displaystyle AD=AB=BE}$

施泰納-萊穆斯定理的結論並不能推廣到外角平分線上。也就是說，兩條外角平分線相等的三角形不一定是等腰三角形。一個常舉的反例是三個內角分別為132度、36度和12度的三角形，因為這個三角形的兩條外角平分線恰等於一條邊，易於證明。^[8]

進一步地，數學家們嘗試證明，所有兩條外角平分線相等的不等腰三角形的共性。^[8][9]中國數學家蔣聲指出，滿足下列條件的三角形都是有兩條外角平分線相等的不等腰三角形：^[10]

${\displaystyle {\begin{cases}A=\theta -\arccos(1+\cos \theta +\cos 2\theta )\\B=\theta +\arccos(1+\cos \theta +\cos 2\theta )\\C=180^{\circ }-2\theta \\60^{\circ }<\theta <90^{\circ }\\\end{cases}}}$

「兩條外角平分線相等的三角形是等腰三角形」是假命題，不過較弱的命題是成立的：三角形的兩個角的外角平分線相等，若第三個角是最大或最小的角，則該三角形是等腰三角形；不然，則不是等腰三角形。^[11]