通常,整個剛體的空間位形可以簡易地以以下參數設定:
- 剛體的「位置」:挑選剛體內部一點G來代表整個剛體,通常會設定物體的質心或形心為這一點。從空間參考系S觀測,點G的位置就是整個剛體在空間的位置。表示位置可以應用向量的概念。向量的起點為參考系S的原點,終點為點G。設定剛體的位置需要三個坐標,例如,採用直角坐標系,這三個坐標為x-坐標、y-坐標、z-坐標。這用掉了三個自由度。
- 剛體的取向:描述剛體取向的方法有好幾種,包括方向餘弦、歐拉角、四元數等等。這些方法設定一個附體參考系B的取向(相對於空間參考系S)。附體參考系是固定於剛體的參考系。相對於剛體,附體參考系的取向固定不變。由於剛體可能會呈加速度運動,所以附體參考系可能不是慣性參考系。空間參考系是某設定慣性參考系,例如,在觀測飛機的飛行運動時,附著於飛機場控制塔的參考系可以設定為空間參考系,而附著於飛機的參考系則可設定為附體參考系。剛體的取向需要用到另外三個自由度。
單位向量
與參考系的三個單位向量
、
、
之間的夾角分別為
、
、
。
方向餘弦方法可以用來設定附體參考系B的取向,即剛體的取向。假設沿著參考系S的坐標軸的三個單位向量分別為
、
、
,沿著參考系B的坐標軸的三個單位向量分別為
、
、
。定義
與
之間的方向餘弦
為
;
其中,
是
與
之間的夾角。
、
、
與
、
、
之間的關係分別為
、
、
。
兩個參考系的坐標軸所形成的矩陣稱為「方向餘弦矩陣」
:
。
採用愛因斯坦求和約定,由於
,給定方向餘弦矩陣
,則可設定附體參考系B的取向,也就是剛體的取向。
反過來,經過一番運算,可以得到
。
給定位置向量
,
則
與
的內積為
。
方向餘弦矩陣
可以將從空間參考系S觀測的位置坐標
,變換為從附體參考系B觀測的位置坐標
,因此又稱為「變換矩陣」。
變換矩陣
也可以做反變換如下:
。
變換矩陣
是一種正交矩陣,滿足「正交條件」
;
其中,
是克羅內克函數。
注意到
與
不同,夾角
是
與空間參考系S的坐標軸單位向量
之間的夾角。變換矩陣
通常不是對稱矩陣。
左圖顯示「主動變換」:參考軸固定不動,點P被旋轉
角弧成為點P'。右圖顯示「被動變換」:參考軸被旋轉
角弧,而點P固定不動。
變換矩陣
可以視為旋轉矩陣。例如,將附體參考系B或剛體旋轉,從
、
、
旋轉
角弧成為
、
、
;其中,
。對於這旋轉,旋轉矩陣
為
。
參考軸
與
之間的關係為
。
旋轉矩陣
也可以視為將點P的位置向量
旋轉
角弧成為點P'的位置向量
:
。