明渠流

明渠流（英語：open-channel flow）是水力學的分支，是液體在管道或水路中的流動，而且液體存在自由表面^[1]，包括未全滿的液體在管道中流動，則稱為管流。 流體的重量是這種流體的主要驅動來源。^[2]

長江瞿塘峽，河流是明渠流的一種

流的狀態

明渠流的行為是由粘滯力和重力以及流體本身的慣性所控制。表面張力有一些影響，不過在大部份的應用中，表面張力不是主要影響因素。由於流體有自由表面，明渠流中重力多半是最重要影響明渠流的因素。慣力和重力的比例就是明渠流裡最重要旳無因次量^[3]，此無因次量稱為福祿數 ，定義為$${\displaystyle {\text{Fr}}={U \over {\sqrt {gD}}}}$$

其中

• ${\displaystyle U}$是平均速度
• ${\displaystyle D}$是表示渠深度的特徵長度
• ${\displaystyle g}$為重力加速度。

粘滯力相對慣性力的影響可以用雷諾數表示，流體可以分為層流、湍流和過渡流。不過一般會假設其雷諾數夠大，流體的粘滯力可以忽略^[3]，流體本身會是湍流。

公式

可以用針對質量、動量和能量的守恆定律來描述明渠流。其統御方程可以從考慮流速向量場${\displaystyle {\bf {v}}}$（分量${\displaystyle {\bf {v}}={\begin{pmatrix}u&v&w\end{pmatrix}}^{T}}$）的動態方程求得。在笛卡兒坐標系下，這些分量對應x軸、y軸和z軸的流速。

為了簡化最後的公式，會進行以下的假設：

1. 流是不可壓縮流（若是快速變化的流，此假設就不合適)
2. 雷諾數夠大，粘滯擴散可以忽略
3. 流是沿著x軸的一維流

連續性方程式

通用的連續性方程式描述質量的守恆，其形式如下：$${\displaystyle {\partial \rho \over {\partial t}}+\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})=0}$$其中${\displaystyle \rho }$是流體密度，${\displaystyle \nabla \cdot ()}$是散度算子。假設不可壓縮流，有固定的控制體積 ${\displaystyle V}$，方程可以表示為${\displaystyle \nabla \cdot {\bf {v}}=0}$。不過，明渠流的截面${\displaystyle A}$可能會隨著時間和位置而變化。若從連續性方程式的積分形開始：$${\displaystyle {d \over {dt}}\int _{V}\rho \;dV=-\int _{V}\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})\;dV}$$可以將體積積分分解成截面和長度，因此可以得到下式：$${\displaystyle {d \over {dt}}\int _{x}\left(\int _{A}\rho \;dA\right)dx=-\int _{x}\left[\int _{A}\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})\;dA\right]dx}$$在流體不可壓縮、一維流的假設下，方程式可以寫成：$${\displaystyle {d \over {dt}}\int _{x}\left(\int _{A}dA\right)dx=-\int _{x}{\partial \over {\partial x}}\left(\int _{A}u\;dA\right)dx}$$利用${\displaystyle \int _{A}dA=A}$並且定義體積流率 ${\displaystyle Q=\int _{A}u\;dA}$, 方程式可以簡化如下：$${\displaystyle \int _{x}{\partial A \over {\partial t}}\;dx=-\int _{x}{\partial Q \over {\partial x}}dx}$$最後，可以得到不可壓縮、一維明渠流的方程：

${\displaystyle {\partial A \over {\partial t}}+{\partial Q \over {\partial x}}=0}$

動量方程

明渠流的動量方程可以從不可壓縮的納維-斯托克斯方程開始：$${\displaystyle \overbrace {\underbrace {\partial {\bf {v}} \over {\partial t}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Local}}\\{\text{Change}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {{\bf {v}}\cdot \nabla {\bf {v}}} _{\text{Advection}}} ^{\text{Inertial Acceleration}}=-\underbrace {{1 \over {\rho }}\nabla p} _{\begin{smallmatrix}{\text{Pressure}}\\{\text{Gradient}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\nu \Delta {\bf {v}}} _{\text{Diffusion}}-\underbrace {\nabla \Phi } _{\text{Gravity}}+\underbrace {\bf {F}} _{\begin{smallmatrix}{\text{External}}\\{\text{Forces}}\end{smallmatrix}}}$$其中${\displaystyle p}$是壓強，${\displaystyle \nu }$是動黏度，${\displaystyle \Delta }$是拉普拉斯算子，而${\displaystyle \Phi =gz}$ 是重力位。配合高雷諾數以及一維流的假設，可得以下方程：$${\displaystyle {\begin{aligned}{\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}&=-{1 \over {\rho }}{\partial p \over {\partial x}}+F_{x}\\-{1 \over {\rho }}{\partial p \over {\partial z}}-g&=0\end{aligned}}}$$第二個方程中有流體靜壓${\displaystyle p=\rho g\zeta }$，而渠深度${\displaystyle \eta (t,x)=\zeta (t,x)-z_{b}(x)}$ 是自由表面${\displaystyle \zeta }$和渠底${\displaystyle z_{b}}$的距離。將此代入第一個方程，可得：$${\displaystyle {\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}+g{\partial \zeta \over {\partial x}}=F_{x}\implies {\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}+g{\partial \eta \over {\partial x}}-gS=F_{x}}$$where the channel bed slope ${\displaystyle S=-dz_{b}/dx}$。若要考慮渠道上的剪應力,可以定義受力項為：$${\displaystyle F_{x}=-{1 \over {\rho }}{\tau \over {R}}}$$其中${\displaystyle \tau }$為剪應力，${\displaystyle R}$為水力半徑。定義摩擦斜率${\displaystyle S_{f}=\tau /\rho gR}$，是量化摩擦損失的方式，可以得到以下的動量方程式：

${\displaystyle {\partial u \over {\partial t}}+u{\partial u \over {\partial x}}+g{\partial \eta \over {\partial x}}+g(S_{f}-S)=0}$

能量方程式

若要推導能量方程式，考慮平流加速度項${\displaystyle {\bf {v}}\cdot \nabla {\bf {v}}}$可以分解如下：$${\displaystyle {\bf {v}}\cdot \nabla {\bf {v}}=\omega \times {\bf {v}}+{1 \over {2}}\nabla \|{\bf {v}}\|^{2}}$$其中${\displaystyle \omega }$是流的渦量，${\displaystyle \|\cdot \|}$是歐幾里得範數。這可以得到一個不考慮外部力的動量方程，為：$${\displaystyle {\partial {\bf {v}} \over {\partial t}}+\omega \times {\bf {v}}=-\nabla \left({1 \over {2}}\|{\bf {v}}\|^{2}+{p \over {\rho }}+\Phi \right)}$$將方程兩側對${\displaystyle {\bf {v}}}$進行點積，可得：$${\displaystyle {\partial \over {\partial t}}\left({1 \over {2}}\|{\bf {v}}\|^{2}\right)+{\bf {v}}\cdot \nabla \left({1 \over {2}}\|{\bf {v}}\|^{2}+{p \over {\rho }}+\Phi \right)=0}$$其中有利用三重積 ${\displaystyle {\bf {v}}\cdot (\omega \times {\bf {v}})=0}$。定義${\displaystyle E}$為能量密度：$${\displaystyle E=\underbrace {{1 \over {2}}\rho \|{\bf {v}}\|^{2}} _{\begin{smallmatrix}{\text{Kinetic}}\\{\text{Energy}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {\rho \Phi } _{\begin{smallmatrix}{\text{Potential}}\\{\text{Energy}}\end{smallmatrix}}}$$注意其中的 ${\displaystyle \Phi }$是非時變的。可以得到下式：$${\displaystyle {\partial E \over {\partial t}}+{\bf {v}}\cdot \nabla (E+p)=0}$$假設能量密度是非時變的，且流是一維流，可以簡化如下：$${\displaystyle E+p=C}$$with ${\displaystyle C}$為常數，這和伯努利定律等效。明渠流中特別關注的是比能 ${\displaystyle e=E/\rho g}$，可以計算揚程 ${\displaystyle h}$，定義如下：

${\displaystyle {\begin{aligned}h&=e+{p \over {\rho g}}\\&={u^{2} \over {2g}}+z+{p \over {\gamma }}\end{aligned}}}$

其中 ${\displaystyle \gamma =\rho g}$是比重量。不過，實際系統需加上揚程損失項 ${\displaystyle h_{f}}$，這是考慮因為摩擦力和湍流產生的能量耗散，之前因為在動量方程不考慮外力，這些被省略了。

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