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普洛尼克數

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數學中,普洛尼克數(pronic number),也叫矩形數(oblong number),是兩個連續非負整數積,即。第n個普洛尼克數都是n的三角形數的兩倍。開頭的幾個普洛尼克數是:

0, 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110, 132, 156, 182, 210, 240, 272, 306, 342, 380, 420, 462, 506, 552, 600, 650, 702, 756, 812, 870, 930, 992, 1056, 1122, 1190, 1260, 1332, 1406, 1482, 1560, 1640, 1722, 1806, 1892, 1980, 2070, 2162, 2256, 2352, 2450, 2550, ...(OEIS數列A002378
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性質

  • 普洛尼克數也可以表達成
  • 對於第n個普洛尼克數也正好等於頭n個偶數的和,也是第n個三角形數的兩倍。[1]
  • 普洛尼克數不可能是奇數,因為它必須為一偶數與奇數之積,而且是三角形數的兩倍。[1]
  • 普洛尼克數的數字根必為2、3、6、9。[註 1]
  • 普洛尼克數的末位數只可能是0、2、6。[註 2]
  • 除了0以外,普洛尼克數也不可能是平方數[註 3]
  • 除了0以外,普洛尼克數也不可能是次方數[來源請求][查證請求][原創研究?]
  • 除了6以外,普洛尼克數也不可能是完全數[來源請求][查證請求][原創研究?]
  • 一個非負整數是普洛尼克數,若且唯若此數的4倍加1是平方數[註 4]
  • 連續兩個普洛尼克數的平均平方數[註 5]
  • 顯然,2是唯一的一個普洛尼克數,也是費氏數列中唯二的普洛尼克數(另一個是0)[2]
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特殊的普洛尼克數

  • 同時為普洛尼克數及三角形數的數(不定方程式):最小的幾個為0, 6, 210, 7140, 242556, 8239770,……[3][4],對應的值分別為0, 2, 14, 84, 492, 2870,……(OEIS數列A053141),對應的值分別為0, 3, 20, 119, 696, 4059,……(OEIS數列A001652)。
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註釋

  1. 若n≡0 (mod 9),則n×(n+1)≡0×1≡9 (mod 9)
    • 若n≡1 (mod 9),則n×(n+1)≡1×2≡2 (mod 9)
    • 若n≡2 (mod 9),則n×(n+1)≡2×3≡6 (mod 9)
    • 若n≡3 (mod 9),則n×(n+1)≡3×4≡12≡3 (mod 9)
    • 若n≡4 (mod 9),則n×(n+1)≡4×5≡20≡2 (mod 9)
    • 若n≡5 (mod 9),則n×(n+1)≡5×6≡30≡3 (mod 9)
    • 若n≡6 (mod 9),則n×(n+1)≡6×7≡42≡6 (mod 9)
    • 若n≡7 (mod 9),則n×(n+1)≡7×8≡56≡2 (mod 9)
    • 若n≡8 (mod 9),則n×(n+1)≡8×9≡72≡9 (mod 9)
    故得證。
  2. 若n≡0 (mod 10),則n×(n+1)≡0×1≡0 (mod 10)
    • 若n≡1 (mod 10),則n×(n+1)≡1×2≡2 (mod 10)
    • 若n≡2 (mod 10),則n×(n+1)≡2×3≡6 (mod 10)
    • 若n≡3 (mod 10),則n×(n+1)≡3×4≡12≡2 (mod 10)
    • 若n≡4 (mod 10),則n×(n+1)≡4×5≡20≡0 (mod 10)
    • 若n≡5 (mod 10),則n×(n+1)≡5×6≡30≡0 (mod 10)
    • 若n≡6 (mod 10),則n×(n+1)≡6×7≡42≡2 (mod 10)
    • 若n≡7 (mod 10),則n×(n+1)≡7×8≡56≡6 (mod 10)
    • 若n≡8 (mod 10),則n×(n+1)≡8×9≡72≡2 (mod 10)
    • 若n≡9 (mod 10),則n×(n+1)≡9×10≡90≡0 (mod 10)
    故得證。
  3. 因為n與(n+1)差1,所以兩數互質,故若n×(n+1)為平方數,則n與(n+1)也皆為平方數,2個平方數差1,則必為0與1,因此唯一的普洛尼克數兼平方數為0=0×1。
  4. 普洛尼克數 n(n+1) 的4倍加1是4n2+4n+1 = (2n+1)2
  5. 兩個相鄰的普洛尼克數 n(n+1) 和 (n+1)(n+2) 的平均是 (2n+2)(n+1)/2 = (n+1)2

參考資料

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