普羅海特-蘇-摩爾斯常數

普羅海特-蘇-摩爾斯常數（Prouhet–Thue–Morse constant）是數學中的常數，符號為${\displaystyle \tau }$，得名自 歐仁·普羅海特（法語：Eugène Prouhet）、阿克塞爾·圖厄及馬斯頓·摩斯（英語：Marston Morse），其二進制.01101001100101101001011001101001...為蘇-摩爾斯數列（英語：Thue–Morse sequence），也就是

${\displaystyle \tau =\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {t_{i}}{2^{i+1}}}=0.412454033640\ldots }$

普羅海特-蘇-摩爾斯常數

普羅海特-蘇-摩爾斯常數
識別
種類	無理數 超越數
符號	${\displaystyle \tau }$
位數數列編號	A014571
性質
定義	${\displaystyle \tau =\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {t_{i}}{2^{i+1}}}}$， 其中${\displaystyle t_{i}}$為蘇-摩爾斯數列（英語：Thue–Morse sequence）中的第i個元素。
連分數	[0; 2, 2, 2, 1, 4, 3, 5, 2, 1, 4, 2, 1, 5, 44, 1, 4, 1, 2, 4, 1, …]
表示方式
值	${\displaystyle \tau \approx }$0.41245403364...
二進制	0.011010011001011010010110…
十進制	0.412454033640107597783361…
十六進制	0.699696699669699696696996…

其中${\displaystyle t_{i}}$為蘇-摩爾斯數列中的第i個元素。

${\displaystyle t_{i}}$的其生成級數為：

${\displaystyle \tau (x)=\sum _{i=0}^{\infty }(-1)^{t_{i}}\,x^{i}={\frac {1}{1-x}}-2\sum _{i=0}^{\infty }t_{i}\,x^{i}}$

可以表示為

${\displaystyle \tau (x)=\prod _{n=0}^{\infty }(1-x^{2^{n}}).}$

這是弗賓納斯多項式（英語：Frobenius polynomial）的乘積，因此可以推廣到任意的域。

普羅海特-蘇-摩爾斯常數已由庫爾特·馬勒（英語：Kurt Mahler）在1929年證明是超越數^[1]。