曼德爾球

曼德爾球（Mandelbulb）是一個三維的曼德博集合的模擬，由丹尼爾·懷特和保羅·尼蘭德採用球坐標構造。^[1]

一個光線跟蹤的3維曼德爾球圖像
迭代於${\displaystyle z\mapsto z^{8}+c}$

因為沒有複數的二維空間的三維類似物，因此不存在規範的三維曼德博集合。可以使用四元數的4個維度構建曼德博集合。然而，這樣構建的集合不能和二維的那樣在所有尺度上表現細節。

懷特和尼蘭德關於三維矢量${\displaystyle \langle x,y,z\rangle }$的${\displaystyle n}$次方公式為

${\displaystyle \langle x,y,z\rangle ^{n}=r^{n}\langle \sin(n\theta )\cos(n\phi ),\sin(n\theta )\sin(n\phi ),\cos(n\theta )\rangle }$

其中

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\phi &=\arctan(y/x)=\arg(x+yi)\\{\rm {and\ }}\theta &=\arctan({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}/z)=\arccos(z/r).\end{aligned}}}$

他們使用迭代${\displaystyle z\mapsto z^{n}+c}$，其中「${\displaystyle z^{n}}$」定義如上，「${\displaystyle +}$」是矢量相加。^[2]當${\displaystyle n>3}$，其結果是一個三維的球狀物，有分形的表面和由參數${\displaystyle n}$控制的葉子。他們的很多圖形表現採用${\displaystyle n=8}$的設置。