最大線性無關組

若向量組${\displaystyle S_{1}:\{a_{i1},a_{i2},...,a_{in}\}}$是向量組${\displaystyle S:\{a_{1},a_{2},...,a_{s}\}}$的一個部分組，即${\displaystyle S_{1}\subset S}$，且${\displaystyle S_{1}}$滿足：

1. ${\displaystyle S_{1}}$線性無關。
2. ${\displaystyle S}$中的任一向量皆可由${\displaystyle S_{1}}$線性表示；即${\displaystyle S}$中的任一向量加到${\displaystyle S_{1}}$，皆可使${\displaystyle S_{1}}$線性相關。

則稱${\displaystyle S_{1}}$是向量組${\displaystyle S}$的最大線性無關組。

性質

1. 向量組與其最大線性無關組，可互相線性表示。兩向量組等價。
2. 向量組${\displaystyle S}$的任兩個最大線性無關組${\displaystyle S_{1}}$, ${\displaystyle S_{2}}$，也可互相線性表示。即${\displaystyle S_{1}}$, ${\displaystyle S_{2}}$等價。
3. 一個向量組的任兩個最大無關組所含有的向量個數相等。即向量組的秩相等。