最小變異數不偏估計

統計學上， 最小變異數不偏估計（MVUE，minimum-variance unbiased estimator）是一個對於所有不偏估計中，擁有最小變異數的不偏估計。若無論真實母數值θ是多少，最小變異數不偏估計（MVUE）都比其他不偏估計有更小或至多相等的變異數，則稱此估計為一致最小變異數不偏估計（UMVUE，Uniformly Minimum-Variance Unbiased Estimator）。

若 ${\displaystyle \delta (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})}$ 為母數函數 ${\displaystyle g(\theta )}$ 的一個不偏估計，且對於母數函數 ${\displaystyle g(\theta )}$ 的任一不偏估計 ${\displaystyle {\tilde {\delta }}}$ 恆有下列關係　

${\displaystyle \forall \theta \in \Omega }$，${\displaystyle \mathrm {var} (\delta (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}))\leq \mathrm {var} ({\tilde {\delta }}(X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n}))}$

則稱 ${\displaystyle \delta (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})}$ 為母數函數 ${\displaystyle g(\theta )}$ 的一致最小變異數不偏估計（UMVUE）。

若母數函數 ${\displaystyle g(\theta )}$ 存在不偏估計，則可證明出一致最小變異數不偏估計存在且唯一。

一般地，設 ${\displaystyle \delta (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})}$ 是母數函數 ${\displaystyle g(\theta )}$ 的不偏估計且統計量 ${\displaystyle T}$ 是分布族的完備充分統計量，則

${\displaystyle \eta (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})=\mathrm {E} (\delta (X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n})|T)\,}$

是母數函數 ${\displaystyle g(\theta )}$ 的一致最小變異數不偏估計（UMVUE）。

參考資料

• Keener, Robert W. Statistical Theory: Notes for a Course in Theoretical Statistics. Springer. 2006: 47–48, 57–58.