梯度下降法

梯度下降法（英語：Gradient descent）是一個一階最佳化算法，通常也稱為最陡下降法，但是不該與近似積分的最陡下降法（英語：Method of steepest descent）混淆。 要使用梯度下降法找到一個函數的局部極小值，必須向函數上當前點對應梯度（或者是近似梯度）的反方向的規定步長距離點進行疊代搜索。如果相反地向梯度正方向疊代進行搜索，則會接近函數的局部極大值點；這個過程則被稱為梯度上升法。

描述

梯度下降法的描述。

梯度下降方法基於以下的觀察：如果實值函數${\displaystyle F(\mathbf {x} )}$在點${\displaystyle \mathbf {a} }$處可微且有定義，那麼函數${\displaystyle F(\mathbf {x} )}$在${\displaystyle \mathbf {a} }$點沿著梯度相反的方向 ${\displaystyle -\nabla F(\mathbf {a} )}$ 下降最多。

因而，如果

${\displaystyle \mathbf {b} =\mathbf {a} -\gamma \nabla F(\mathbf {a} )}$

對於一個足夠小數值${\displaystyle \gamma >0}$時成立，那麼${\displaystyle F(\mathbf {a} )\geq F(\mathbf {b} )}$。

考慮到這一點，我們可以從函數${\displaystyle F}$的局部極小值的初始估計${\displaystyle \mathbf {x} _{0}}$出發，並考慮如下序列 ${\displaystyle \mathbf {x} _{0},\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\dots }$使得

${\displaystyle \mathbf {x} _{n+1}=\mathbf {x} _{n}-\gamma _{n}\nabla F(\mathbf {x} _{n}),\ n\geq 0}$。

因此可得到

${\displaystyle F(\mathbf {x} _{0})\geq F(\mathbf {x} _{1})\geq F(\mathbf {x} _{2})\geq \cdots ,}$

如果順利的話序列${\displaystyle (\mathbf {x} _{n})}$收斂到期望值的局部極小值。注意每次疊代步長${\displaystyle \gamma }$可以改變。

右側的圖片示例了這一過程，這裡假設${\displaystyle F}$定義在平面上，並且函數圖像是一個碗形。藍色的曲線是等高線（水平集），即函數${\displaystyle F}$為常數的集合構成的曲線。紅色的箭頭指向該點梯度的反方向。（一點處的梯度方向與通過該點的等高線垂直）。沿著梯度下降方向，將最終到達碗底，即函數${\displaystyle F}$局部極小值的點。

例子

梯度下降法處理一些複雜的非線性函數會出現問題，例如Rosenbrock函數

${\displaystyle f(x,y)=(1-x)^{2}+100(y-x^{2})^{2}.\quad }$

其最小值在${\displaystyle (x,y)=(1,1)}$處，數值為${\displaystyle f(x,y)=0}$。但是此函數具有狹窄彎曲的山谷，最小值${\displaystyle (x,y)=(1,1)}$就在這些山谷之中，並且谷底很平。最佳化過程是之字形的向極小值點靠近，速度非常緩慢。

下面這個例子也鮮明的示例了"之字"的上升（非下降），這個例子用梯度上升（非梯度下降）法求${\displaystyle F(x,y)=\sin \left({\frac {1}{2}}x^{2}-{\frac {1}{4}}y^{2}+3\right)\cos(2x+1-e^{y})}$的局部極大值（非局部極小值）。

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缺點

梯度下降法的缺點包括：^[1]

• 靠近局部極小值時速度減慢。
• 直線搜索可能會產生一些問題。
• 可能會「之字型」地下降。

上述例子也已體現出了這些缺點。

參閱

共軛梯度法 隨機梯度下降法（英語：Stochastic gradient descent） 最佳化

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