最速降線問題

最速降線問題，又稱最短時間問題、最速落徑問題。問題如下：假想你正在側視的場景有高低不同的兩點，且高點不是在低點的正上方，若從高點放開一個靜止的質點讓它沿著任一路徑（直線、曲線、或折線皆可）滑到低點，其間只有均勻的重力作用而沒有摩擦力，則怎樣的路徑可讓這段行程的時間最短？在部分歐洲語言中，這個問題稱為Brachistochrone，即希臘語中的「最短」（brachistos）和「時間」（chronos）。本問題的解答是擺線（而非很多人會猜想的直線），可以用變分法證明。

從點A到點B的最速降線是一條擺線。

歷史

1638年，伽利略在《論兩種新科學》中以為此線是圓弧。約翰·白努利參考之前分析過的等時降落軌跡，證明了此線是擺線，並在1696年6月的《博學通報》發表。艾薩克·牛頓、雅各·白努利、萊布尼茲和羅必達都得出同一結論，即正確的答案應該是擺線的一段。除了羅必達的解外，其他人的解都在1697年5月的《博學通報》出現。

證明

約翰·白努利的證明

費馬原理說明，兩點間光線傳播的路徑是所需時間最少的路徑。約翰·白努利利用該原理,對此問題進行解決。

運用機械能守恆定律，可以導出在恆定重力場中運動的物體的速度滿足

${\displaystyle v={\sqrt {2gy}}}$,

式中y表示物體在豎直方向上落下的距離，g為重力加速度。通過機械能守恆可知，經不同的曲線落下，物體的速度與水平方向的位移無關。
通過假設光在光速v在滿足:${\displaystyle v={\sqrt {2gy}}}$的傳輸介質中運動形成的軌跡來導出最速降線。
約翰·白努利注意到，根據折射定律，一束光在密度不均的介質中傳播時存在一常數

${\displaystyle {\frac {\sin {\theta }}{v}}={\frac {1}{v}}{\frac {dx}{ds}}={\frac {1}{v_{m}}}}$,

式中v_m為常數(可認為為真空中光速c，θ為軌跡與豎直方向的夾角，dx為水平方向路徑微分，ds為運動方向路徑微分。

通過上述方程式，我們可以得到兩條結論：

1. 在剛開始，當質點的速度為零時，夾角也必然是零。因此，最速降線在起始處與豎直方向相切。

1. 當軌跡變為水平即夾角變為90°時，速度達到最大。

為了簡化過程，我們假設質點（或光束）相對於原點(0,0)有坐標(x,y)，且當下落了豎直距離D後達到了最大速度，則

${\displaystyle v_{m}={\sqrt {2gD}}}$.

整理折射定律式中的各項並平方得到

${\displaystyle v_{m}^{2}(dx)^{2}=v^{2}(ds)^{2}=v^{2}((dx)^{2}+(dy)^{2})}$

可以解得dx對dy有

${\displaystyle dx={\frac {vdy}{\sqrt {v_{m}^{2}-v^{2}}}}}$.

代入v和v_m的表達式得到

${\displaystyle dx={\sqrt {\frac {y}{D-y}}}dy}$

這是一個由直徑為D的圓所形成的倒過來的擺線的微分方程式。

雅各·白努利的證明

約翰的哥哥雅各·白努利說明了如何從二階微分得到最短時間的情況。一種現代版本的證明如下。
如果我們從最短時間路徑發生微小移動，那麼形成三角形滿足

${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}}$.

dy不變求微分，得到

${\displaystyle 2ds\ d^{2}s=2dx\ d^{2}x}$

最後整理得到

${\displaystyle {\frac {dx}{ds}}d^{2}x=d^{2}s=v\ d^{2}t}$

最後的部分即二階微分下距離的改變量與給定的時間的關係。現在考慮下圖中的兩條相鄰路徑，中間的水平間隔為d²x。對新舊兩條路徑，改變量為

${\displaystyle d^{2}t_{1}={\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}d^{2}x}$

${\displaystyle d^{2}t_{2}={\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}d^{2}x}$

對於最短時間的路徑，兩個時間相等，故得到

${\displaystyle d^{2}t_{2}-d^{2}t_{1}=0={\bigg (}{\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}-{\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}{\bigg )}d^{2}x}$

因此最短時間的情況為

${\displaystyle {\frac {1}{v_{2}}}{\frac {dx_{2}}{ds_{2}}}={\frac {1}{v_{1}}}{\frac {dx_{1}}{ds_{1}}}}$

最速降線的數學形式與最短時間

在垂直平面上，自原點${\displaystyle \left(\,0,\,0\right)}$至目的地${\displaystyle \left(\,x_{1},\,y_{1}\right)}$的最速降線具有以下數學形式：

${\displaystyle x={\frac {1}{2}}k^{2}\left(\theta -\sin \theta \right),\ y={\frac {1}{2}}k^{2}\left(1-\cos \theta \right).}$^[1]

這裡的${\displaystyle y}$座標軸方向向下，且${\displaystyle y_{1}\geq 0}$；${\displaystyle \theta }$為此擺線參數表達式的參數，原點處${\displaystyle \theta =0}$。

物體自原點沿最速降線滑至${\displaystyle \theta =\theta _{1}}$處所需的時間可由以下積分式給出：

${\displaystyle t=\int _{\theta =0}^{\theta =\theta _{1}}\mathrm {d} t=\int _{\theta =0}^{\theta =\theta _{1}}{\frac {\mathrm {d} s}{v}}}$。

利用${\displaystyle ds={\sqrt {\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}}}}$以及${\displaystyle v={\sqrt {2gy}}}$，並以${\displaystyle \theta }$作為參數，整理後得

${\displaystyle {\frac {ds}{v}}={\frac {k}{\sqrt {2g}}}\mathrm {d} \theta }$

${\displaystyle t={\frac {k}{\sqrt {2g}}}\theta _{1}}$。

自此擺線的參數式中易知${\displaystyle y}$的最大值為${\displaystyle k^{2}}$，此值必須等於擺線的繞轉圓直徑${\displaystyle 2r}$，因此

${\displaystyle k={\sqrt {2r}}}$

${\displaystyle t=\theta _{1}{\sqrt {\frac {r}{g}}}}$。

現假設終點與原點直線距離${\displaystyle \ l\ }$，且終點對原點的仰角為${\displaystyle \phi }$。利用此擺線的參數式，可知

${\displaystyle l={\sqrt {x_{1}^{2}+y_{1}^{2}}}=r{\sqrt {\left(\theta -\sin \theta \right)^{2}+\left(1-\cos \theta \right)^{2}}}}$

最速降線問題的終點俯角-最短下滑時間關係曲線。圖中原點到終點的直線距離定為1.00公尺，下滑時間隨俯角增大而縮短。

${\displaystyle \tan \phi ={\frac {y_{1}}{x_{1}}}={\frac {1-\cos \theta }{\theta -\sin \theta }}}$

利用${\displaystyle l}$的關係式求出${\displaystyle r}$，並代回下滑時間中，得

${\displaystyle t\,\left(\,l,\,\theta \right)={\sqrt {\frac {l}{g}}}{\frac {\theta }{\sqrt[{4}]{\left(\theta -\sin \theta \right)^{2}+\left(1-\cos \theta \right)^{2}}}}}$

綜合上述，討論在${\displaystyle \ l\ }$已知的情況下，下滑時間${\displaystyle t}$與俯角${\displaystyle \phi }$的關係為

${\displaystyle \left(\,\phi ,\,t\right)=\left(\,\arctan {\frac {1-\cos \theta }{\theta -\sin \theta }},\,{\sqrt {\frac {l}{g}}}{\frac {\theta }{\sqrt[{4}]{\left(\theta -\sin \theta \right)^{2}+\left(1-\cos \theta \right)^{2}}}}\right)}$。

外部連結

• 重力下的最快下降曲線：國立中央大學物理演示實驗網站；內含實驗影片。
• Brachistochrone Problem -- from Wolfram MathWorld- （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）：有詳細的公式證明。（英文）