在數學中,如果在某個集合
上定義的具有實數或複數值的某個函數
的值域是有界集合,則函數
被稱為有界的(或有界函數)。換句話說,存在實數
,使得對於集合
中的所有
,都有
。有時,如果對於集合
中的所有
,都有
,則函數
稱為上有界的,
就是它的一個上界;如果對於集合
中的所有
,都有
,則函數稱為下有界的,
就是它的一個下界。
有界函數(紅色)和無界函數(藍色)的示意圖。可以看到,有界函數的圖形保持在(虛線)水平帶內,而無界函數的圖形不保持在水平帶內。
一個特例是有界數列,其中
是所有自然數所組成的集合
。所以,一個數列
是有界的,如果存在一個數
,使得對於所有的自然數
,都有
。