朗道-利夫希茲方程式

在物理學上，朗道-利夫希茲-吉爾伯特方程式（Landau–Lifshitz–Gilbert），是以列夫·達維多維奇·朗道、葉夫根尼·利夫希茨和T·L·吉爾伯特命名的物理方程式，以差分方程式為基礎闡述一個進動磁性粒子的自發磁化。由T·L·吉爾伯特修改列夫·達維多維奇·朗道、葉夫根尼·利夫希茨的方程式得到。該方程式可以描述無外場作用下粒子受平均場作用而產生的運動。該方程式直接暗示了自旋系統存在孤子。 朗道-利夫希茲方程式是非線性偏微分方程式，該方程式有單一孤子的嚴格解，對於多孤子情形，可以採取數值方法求解。該方程式在在不同情形下模擬微磁性磁場的鐵磁性磁場，尤其孤子於磁場的時閾行為。.^[1] 附加方程式用於闡述自旋極化電流對磁體的影響。^[2]

朗道-利夫希茲方程式

朗道-利夫希茲方程式：紅色代表進動藍色代表阻尼。磁化（虛線螺旋）的軌跡的簡化假設，即有效場H_eff為恆定.

設一個鐵磁體，磁化強度M可在其內部發生變化，但每一點擁有相等的磁飽和強度M_S.朗道-利夫希茲-吉爾伯特方程式對磁化響應於轉矩的旋轉，引入:^[3][4][5]

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {M} }{dt}}=-\gamma \mathbf {M} \times \mathbf {H_{\mathrm {eff} }} -\lambda \mathbf {M} \times \left(\mathbf {M} \times \mathbf {H_{\mathrm {eff} }} \right)}$

1

其中，γ 是孤子旋磁比，λ是現象阻尼參數，則：

${\displaystyle \lambda =\alpha {\frac {\gamma }{M_{\mathrm {s} }}},}$

其中，α是一個無因次常數，稱為阻尼因子。有效場場H_eff為外部場的一個組合時，退磁場（磁化磁場）的量子力學效應。解方程式前提是包含用於退磁場的附加方程式。

採用不可逆的統計力學法，可獨立推導出朗道-利夫希茲方程式。^[6]

朗道-利夫希茲-吉爾伯特方程式

1955年吉爾伯特由一個依賴於磁場的時間導數取代了朗道-利夫希茲的阻尼項：

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {M} }{dt}}=-\gamma \left(\mathbf {M} \times \mathbf {H} _{\mathrm {eff} }-\eta \mathbf {M} \times {\frac {d\mathbf {M} }{dt}}\right)}$

2b

其中，η 是材料特性的阻尼參數。它可以轉化為朗道-利夫希茲方程式：

${\displaystyle {\frac {d\mathbf {M} }{dt}}=-\gamma '\mathbf {M} \times \mathbf {H} _{\mathrm {eff} }-\lambda \mathbf {M} \times (\mathbf {M} \times \mathbf {H} _{\mathrm {eff} })}$

2a

由此：

${\displaystyle \gamma '={\frac {\gamma }{1+\gamma ^{2}\eta ^{2}M_{s}^{2}}}\qquad {\text{and}}\qquad \lambda ={\frac {\gamma ^{2}\eta }{1+\gamma ^{2}\eta ^{2}M_{s}^{2}}}.}$

此情形的朗道-利夫希茲方程式中，進動期γ'依賴於阻尼項。這更好地代表現實中磁體影響時，阻尼較大。

方程式形式

普通形式

該方程式的基本思想就是，在規範場作用下，粒子的運動本身會產生電磁場，而這種電磁場可以自我驅動於每一個粒子

${\displaystyle {\dot {\vec {m}}}(x,t)={\vec {m}}\times \nabla ^{2}{\vec {m}}}$

協變形式

協變情況下，${\displaystyle D_{t}=\partial _{t}+iv\cdot \nabla }$, 這裡的速度代表的是粒子運動的群速度。

${\displaystyle D_{t}{\vec {m}}(x,t)={\vec {m}}\times \nabla ^{2}{\vec {m}}}$

物理意義

平均場引發的自我驅動往往具有自持效果，這種效果的體現就是一群粒子可以形成穩定的孤子波。這就是磁性孤子。