李代數胚

在數學中，李代數胚（Lie Algebroid）在李群胚理論中的角色恰如李代數在李群理論中的角色：將整體問題減化為無窮小情形。就像李群胚可以視為「具有許多對象的李群」，李代數胚可視為「具有許多對象的李代數」。

確切地說，一個李代數胚是三元組 ${\displaystyle (E,[\cdot ,\cdot ],\rho )}$，其中 ${\displaystyle E}$ 為流形 ${\displaystyle M}$ 上一個向量叢，${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ 是截面 ${\displaystyle \Gamma (E)}$ 組成的模上的一個李括號，向量叢同態 ${\displaystyle \rho :E\rightarrow TM}$ 稱為錨。這裡${\displaystyle TM}$ 是 ${\displaystyle M}$ 的切叢。錨與李括號滿足萊布尼茲法則：

${\displaystyle [X,fY]=\rho (X)f\cdot Y+f[X,Y]\ ,}$

這裡 ${\displaystyle X,Y\in \Gamma (E),f\in C^{\infty }(M)}$ 和 ${\displaystyle \rho (X)f}$ 是 ${\displaystyle f}$ 沿著向量場${\displaystyle \rho (X)}$ 的導數。從而

${\displaystyle \rho ([X,Y])=[\rho (X),\rho (Y)]\ ,}$

對任何 ${\displaystyle X,Y\in \Gamma (E)}$。

例子

• 任何李代數是單點流形上的李代數胚。

• 流形 ${\displaystyle M}$ 的切叢 ${\displaystyle TM}$ 是一個關於向量場的李括號的李代數胚，錨是 ${\displaystyle TM}$ 的恆同。

• 切叢的任何可積子叢（即其截面在李括號下閉）也定義了一個李代數胚。

• 流形上的任何李代數叢定義了一個李代數胚，這裡李括號逐點定義而錨映射等於零。

• 對任何李群胚相伴一個李代數胚，推廣了一個李代數怎樣相伴到李群（見下）。例如，李代數胚 ${\displaystyle TM}$ 來自配對群胚，其對象為 ${\displaystyle M}$，以及任何一對對象之間的一個同構態射。很不幸的是，從李代數胚不一定可以得到一個李群胚 ^[1]，不過任何李代數胚給出一個棧李群胚 ^[2][3]。

• 給定一個李代數 g 在流形 M 上的作用，M 上 g-不變向量場是作用軌道上的李代數胚。

• 阿蒂亞代數胚：給定流形 M 上的向量叢 V，考慮其導數，即光滑 ${\displaystyle \mathbb {R} }$-線性映射 ${\displaystyle \psi :\Gamma (V)\to \Gamma (V)}$，且存在一個向量場 X 使得它們滿足萊布尼茲法則 ${\displaystyle \psi (fv)=X[f]v+f\psi (v)}$ 對所有光滑函數 f 與向量叢的所有截面 v 。聯繫 ${\displaystyle \psi \to X}$ 顯然是線性的，從而有向量叢之間的一個映射 ${\displaystyle \rho :A(V)\to TM}$（如果你找出叢使得其截面給出導數）。阿蒂亞代數胚進一步由滿足如下短正合列刻畫 ${\displaystyle 0\to \mathrm {End} _{M}(V)\to A(V)\to TM\to 0}$。為了說明每個向量叢存在阿蒂亞代數胚，只需注意到它是相伴於向量叢 V 的標架叢李群胚的李代數胚。

與李群胚相伴的李代數胚

為了敘述這個構造我們先確定一些記號。G 是李群胚的態射空間，M 是對象空間，${\displaystyle e:M\to G}$ 是單位映射，${\displaystyle t:G\to M}$ 為靶映射。

${\displaystyle T^{t}G=\bigcup _{p\in M}T(t^{-1}(p))\subset TG}$ 為 t-纖維切空間。這樣李代數胚是切叢 ${\displaystyle A:=e^{*}T^{t}G}$，從 G 中繼承一個括號，因為我們可以將 M-截面通過 G 上的左不變向量叢等價到 A 中。而且通過將 M 上的光滑函數等價於 G 上的左不變函數，這些截面作用在 M 上的光滑函數上。

作為一個更清晰的例子，考慮配對李群胚 ${\displaystyle G:=M\times M}$ 相伴的李代數胚。靶映射為 ${\displaystyle t:G\to M:(p,q)\mapsto p}$，單位映射 ${\displaystyle e:M\to G:p\mapsto (p,p)}$。t-纖維是 ${\displaystyle p\times M}$ 從而 ${\displaystyle T^{t}G=\bigcup _{p\in M}p\times TM\subset TM\times TM}$。所以李代數胚是切叢 ${\displaystyle A:=e^{*}T^{t}G=\bigcup _{p\in M}T_{p}M=TM}$。截面 X 擴張到 A 中 G 上一個左不變向量場不過是 ${\displaystyle {\tilde {X}}(p,q)=0\oplus X(q)}$，而 M 上一個光滑函數 f 擴張 M 上一個左不變函數是 ${\displaystyle {\tilde {f}}(p,q)=f(q)}$。從而 A 上的李括號恰好是切向量場上的李括號，錨映射是恆同。

當然也可以用源映射與右不變向量場/函數做相同的程序。但是得到的是同構的李代數胚，同構映射是 ${\displaystyle i_{*}}$，這裡 ${\displaystyle i:G\to G}$ 是逆映射。

參見條目

• 埃雷斯曼聯絡
• 仿射聯絡
• 曲率形式