李超代數

李超代數是李代數的推廣，包含了Z₂‑分次代數。李超代數在理論物理中十分重要，用於描述超對稱的數學理論。其中，超代數的偶元素大多對應玻色子，奇元素大多對應費米子（也有相反者，如BRST超對稱）。

定義

形式上看，李超代數是交換環（一般是R或C）上的非結合Z₂-分次代數，或「超代數」，其積為[·, ·]，稱作李超括號或超交換子，滿足兩個條件（與分次的通常李代數類似）：

超反對稱性（skew-symmetry）：

${\displaystyle [x,y]=-(-1)^{|x||y|}[y,x].\ }$

超雅可比恆等式：^[1]

${\displaystyle (-1)^{|x||z|}[x,[y,z]]+(-1)^{|y||x|}[y,[z,x]]+(-1)^{|z||y|}[z,[x,y]]=0,}$

其中x、y、z在Z₂分次中為純。|x|表示x的度（0或1）。[x,y]的度是x、y度之和模2。

有時，還會在${\displaystyle |x|=0}$時添加公理${\displaystyle [x,x]=0}$（若2可逆，則公理自動成立）；對${\displaystyle |x|=1}$時，有${\displaystyle [[x,x],x]=0}$（若3可逆，則公理自動成立）。當基環是整數或李超代數是自由模時，這些條件等同於龐加萊–伯克霍夫–威特定理成立的條件（一般而言是定理成立的必要條件）。

正如對李代數一樣，李超代數的泛包絡代數可被賦予霍普夫代數結構。 反交換、在分次意義上雅可比的分次李代數（按Z或N分次）也有${\displaystyle Z_{2}}$分次（稱作將代數「卷」為奇偶部分），但不稱作「超」。

性質

令${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\oplus {\mathfrak {g}}_{1}}$為李超代數。通過觀察雅可比恆等式，可發現有8種情況取決於參數的奇偶。以奇元素個數為索引，分成4類：^[2]

1. 無奇元素。即${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$為平凡李代數。
2. 1個奇元素。則${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$是作用${\displaystyle \mathrm {ad} _{a}:b\rightarrow [a,b],\quad a\in {\mathfrak {g}}_{0},\quad b,[a,b]\in {\mathfrak {g}}_{1}}$的${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$模。
3. 2個奇元素。雅可比恆等式說明括號${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}\otimes {\mathfrak {g}}_{1}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{0}}$是對稱${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$映射。
4. 3個奇元素。對所有${\displaystyle b\in {\mathfrak {g}}_{1}}$，都有${\displaystyle [b,[b,b]]=0}$。

因此，李超代數的偶超代數${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$形成（正常）李代數，因為所有符號都消失了，超括號變為普通李括號；而${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$是${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$的線性表示，存在對稱${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$等變線性映射${\displaystyle \{\cdot ,\cdot \}:{\mathfrak {g}}_{1}\otimes {\mathfrak {g}}_{1}\rightarrow {\mathfrak {g}}_{0}}$使得

${\displaystyle [\left\{x,y\right\},z]+[\left\{y,z\right\},x]+[\left\{z,x\right\},y]=0,\quad x,y,z\in {\mathfrak {g}}_{1}.}$

條件(1)–(3)是現行的，都可以用普通李代數來理解。條件(4)是飛現行的，且是在從普通李代數（${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{0}}$）和表示（${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{1}}$）開始構造李超代數時最難驗證的條件。

對合

^∗李超代數是配備自身到自身的對合反線性映射的復李超代數，映射反映Z₂分次且對李超代數中所有x、y都有${\displaystyle [x,\ y]^{*}=[y^{*},\ x^{*}]}$（有人更喜好約定${\displaystyle [x,\ y]^{*}=(-1)^{|x||y|}[y^{*},\ x^{*}]}$；將*改為−*可在兩種約定之間切換）。其泛包絡代數將是普通對合代數。

例子

給定結合超代數${\displaystyle A}$，可通過以下方式定義齊次元素上的超交換子：

${\displaystyle [x,y]=xy-(-1)^{|x||y|}yx\ }$

然後線性延伸到所有元素。代數${\displaystyle A}$與超交換子共同構成李超代數。這個過程最簡單的例子也許是當${\displaystyle A}$為超向量空間${\displaystyle V}$中所有線性函數${\displaystyle \mathbf {End} (V)}$的空間。${\displaystyle V=\mathbb {K} ^{p|q}}$時，該空間可表為${\displaystyle M^{p|q}}$或${\displaystyle M(p|q)}$。^[3]用上述李括號，空間可表為${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(p|q)}$。^[4]

同倫群上的懷特海德積給出了許多整數上的李超代數的例子。

超龐加萊代數生成了平面超空間的等距。

分類

維克托·卡茨對簡單復有限維李超代數進行了分類：（不包括李代數）^[5] 特殊線性李超代數 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|n)}$.

李超代數${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|n)}$是${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(m|n)}$的超代數，包含超跡為0的矩陣。${\displaystyle m\not =n}$時是簡單的；${\displaystyle m=n}$時，單位矩陣${\displaystyle I_{2m}}$產生一個理想。對理想取商，可得 ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(m|m)/\langle I_{2m}\rangle }$，對${\displaystyle m\geq 2}$是簡單的。

正交辛李超代數 ${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(m|2n)}$.

考慮${\displaystyle \mathbb {C} ^{m|2n}}$上的偶、非退化、超對稱雙射形式${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$，則正交辛李超代數是${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(m|2n)}$的超代數，包含的矩陣滿足下式不變：$${\displaystyle {\mathfrak {osp}}(m|2n)=\{X\in {\mathfrak {gl}}(m|2n)\mid \langle Xu,v\rangle +(-1)^{|X||u|}\langle u,Xv\rangle =0{\text{ for all }}u,v\in \mathbb {C} ^{m|2n}\}.}$$其偶部由${\displaystyle {\mathfrak {so}}(m)\oplus {\mathfrak {sp}}(2n)}$給出。

例外李超代數 ${\displaystyle D(2,1;\alpha )}$.

有一族取決於參數${\displaystyle \alpha }$的(9∣8)維李超代數，它們是${\displaystyle D(2,1)={\mathfrak {osp}}(4|2)}$的變形。若${\displaystyle \alpha \not =0}$、${\displaystyle \alpha \not =-1}$，則D(2,1,α)是簡單的；若${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \beta }$在映射${\displaystyle \alpha \mapsto \alpha ^{-1}}$、${\displaystyle \alpha \mapsto -1-\alpha }$的作用下處於同一軌道，則${\displaystyle D(2,1;\alpha )\cong D(2,1;\beta )}$。

例外李超代數 ${\displaystyle F(4)}$.

具有維度(24|16)。偶部由${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)\oplus {\mathfrak {so}}(7)}$給出。

例外李超代數 ${\displaystyle G(3)}$.

具有維度(17|14)。偶部由${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2)\oplus G_{2}}$給出。

還有2個所謂「奇異」序列，分別叫做${\displaystyle {\mathfrak {pe}}(n)}$、${\displaystyle {\mathfrak {q}}(n)}$.

Cartan類型。可分為4族：${\displaystyle W(n)}$、${\displaystyle S(n)}$、${\displaystyle {\widetilde {S}}(2n)}$、${\displaystyle H(n)}$。對於簡單李超代數的Cartan類型，奇部在偶部的作用下不再完全可還原。

無窮維簡單線性緊李超代數的分類

分類包含10個系列W(m, n), S(m, n) ((m, n) ≠ (1, 1)), H(2m, n), K(2m + 1, n), HO(m, m) (m ≥ 2), SHO(m, m) (m ≥ 3), KO(m, m + 1), SKO(m, m + 1; β) (m ≥ 2), SHO ∼ (2m, 2m), SKO ∼ (2m + 1, 2m + 3)及5個例外代數：

E(1, 6), E(5, 10), E(4, 4), E(3, 6), E(3, 8)

最後兩個特別有趣（據Kac所說），因為它們的零級代數是標準模型規範群SU(3)×SU(2)×U(1)。無窮維（仿射）李超代數是超弦理論中重要的對稱，具體來說，具有${\displaystyle {\mathcal {N}}}$超對稱的Virasoro代數是${\displaystyle K(1,{\mathcal {N}})}$，其只有中心擴展到${\displaystyle {\mathcal {N}}=4}$。^[6]

範疇論定義

範疇論中，李超代數可定義為非結合超代數，其積滿足

• ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ({\operatorname {id} }+\tau _{A,A})=0}$
• ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]\circ ([\cdot ,\cdot ]\otimes {\operatorname {id} }\circ ({\operatorname {id} }+\sigma +\sigma ^{2})=0}$

其中σ是循環包絡辮${\displaystyle ({\operatorname {id} }\otimes \tau _{A,A})\circ (\tau _{A,A}\otimes {\operatorname {id} })}$。以圖表示：

另見

• 格爾斯滕哈伯代數
• 任意子李代數
• 外代數
• 李超代數的表示
• 超空間
• 超群
• 泛包絡代數