條件收斂

條件收斂（英語：Conditionally Convergent）是數學中無窮級數和廣義積分的一種性質。收斂但不絕對收斂的無窮級數或廣義積分稱為條件收斂的。一個積分條件收斂的函數也稱為條件可積函數。

詳細定義

條件收斂的級數

給定一個實數項無窮級數${\displaystyle A=\sum _{n}a_{n}}$，如果它自身收斂於一個定值${\displaystyle C\in \mathbb {R} }$：

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=C,}$

但由每一項的絕對值構成的正項級數：${\displaystyle A_{s}=\sum _{n}|a_{n}|}$不收斂：

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|=\infty ,}$

那麼就稱這個無窮級數${\displaystyle A=\sum _{n}a_{n}}$是一個條件收斂的無窮級數。^[1]:149

條件收斂的廣義積分

給定一個在區間${\displaystyle [a,\infty )}$上有定義的函數${\displaystyle f(x)}$，如果${\displaystyle f(x)}$在任意的閉區間${\displaystyle [a,b]}$上都可積，並且廣義積分：

${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x=\lim _{b\to +\infty }\int _{a}^{b}f(x)\mathrm {d} x}$

收斂，而函數絕對值的廣義積分：

${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }|f(x)|\mathrm {d} x=\lim _{b\to +\infty }\int _{a}^{b}|f(x)|\mathrm {d} x}$

發散，那麼就稱廣義積分${\displaystyle \int _{a}^{+\infty }f(x)\mathrm {d} x}$條件收斂。^[2]:104

例子

無窮級數

常見的條件收斂的無窮級數包括交錯調和級數：

${\displaystyle A_{h}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\cdots =\sum _{n}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}$

它收斂到定值：${\displaystyle \ln 2}$，而對應的由每項的絕對值構成的正項函數：${\displaystyle H=\sum _{n}{\bigg |}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}{\bigg |}=\sum _{n}{\frac {1}{n}}}$叫做調和級數，是發散的。

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}=\infty .}$

廣義積分

條件收斂的廣義積分的一個例子是函數：${\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}}$在正實數軸上的積分：

${\displaystyle I=\int _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x}$

任取實數${\displaystyle a>1}$，運用分部積分法可以得到：

${\displaystyle \int _{1}^{a}{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x=\cos 1-{\frac {\cos a}{a}}-\int _{1}^{a}{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x}$

而對任意的正實數${\displaystyle A,B>1}$：

${\displaystyle {\Bigg |}\int _{A}^{B}{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x{\Bigg |}\leqslant \int _{A}^{B}{\frac {|\cos x|}{x^{2}}}\mathrm {d} x\leqslant \int _{A}^{B}{\frac {1}{x^{2}}}\mathrm {d} x\leqslant {\frac {1}{A}}}$

由柯西收斂原理可知廣義積分${\displaystyle \int _{1}^{+\infty }{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x}$收斂，所以

${\displaystyle \int _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x=\lim _{a\to +\infty }\int _{1}^{a}{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x=\cos 1-\lim _{a\to +\infty }{\frac {\cos a}{a}}-\lim _{a\to +\infty }\int _{1}^{a}{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x=\cos 1-\int _{1}^{+\infty }{\frac {\cos x}{x^{2}}}\mathrm {d} x}$

即積分：${\displaystyle I=\int _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x}$收斂。但是，絕對值函數的積分：${\displaystyle I_{s}=\int _{1}^{+\infty }{\bigg |}{\frac {\sin x}{x}}{\bigg |}\mathrm {d} x}$不收斂。這是因為對任意自然數${\displaystyle k}$，積分：

${\displaystyle I_{k}=\int _{k\pi }^{(k+1)\pi }{\bigg |}{\frac {\sin x}{x}}{\bigg |}\mathrm {d} x\geqslant \int _{k\pi }^{(k+1)\pi }{\frac {|\sin x|}{(k+1)\pi }}\mathrm {d} x={\frac {2}{(k+1)\pi }}={\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {1}{k+1}}}$

所以

${\displaystyle I_{s}=\int _{1}^{+\infty }{\bigg |}{\frac {\sin x}{x}}{\bigg |}\mathrm {d} x\geqslant \sum _{k=1}^{+\infty }I_{k}\geqslant {\frac {2}{\pi }}\cdot \sum _{k=1}^{+\infty }{\frac {1}{k+1}}=+\infty }$

因此，積分${\displaystyle I=\int _{1}^{+\infty }{\frac {\sin x}{x}}\mathrm {d} x}$是條件收斂的。^[2]:104-106

相關定理

• 黎曼級數定理：假設${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$是一個條件收斂的無窮級數。對任意的一個實數${\displaystyle C}$，都存在一種從自然數集合到自然數集合的排列${\displaystyle \sigma :\,\,n\mapsto \sigma (n)}$，使得

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma (n)}=C.}$

此外，也存在另一種排列${\displaystyle \sigma ':\,\,n\mapsto \sigma '(n)}$，使得

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{\sigma '(n)}=\infty .}$

類似地，也可以有辦法使它的部分和趨於${\displaystyle -\infty }$，或沒有任何極限。^[3]:192

反之，如果級數是絕對收斂的，那麼無論怎樣重排，它仍然會收斂到同一個值，也就是級數的和。^[3]:193

參見

• 無條件收斂
• 絕對收斂