條件期望值

在機率論中，條件期望值是一個實數隨機變數的相對於一個條件機率分布的期望值。換句話說，這是給定的一個或多個其他變量的值一個變量的期望值。它也被稱為條件期望值或條件均值。

條件期望值的概念在科摩哥洛夫的測度理論機率論的定義很重要。條件機率的概念是由條件期望值來定義的。

計算

設${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$是離散隨機變數，則${\displaystyle X}$在給定事件${\displaystyle Y=y}$條件時的條件期望值是${\displaystyle x}$的在${\displaystyle Y}$的值域的函數

${\displaystyle \operatorname {E} (X|Y=y)=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}x\ \operatorname {P} (X=x|Y=y)=\sum _{x\in {\mathcal {X}}}x\ {\frac {\operatorname {P} (X=x,Y=y)}{\operatorname {P} (Y=y)}},}$

其中，${\displaystyle {\mathcal {X}}}$是處於${\displaystyle X}$的值域。

如果現在${\displaystyle X}$是一個連續隨機變數，而${\displaystyle Y}$仍然是一個離散變量，條件期望值是：

${\displaystyle \operatorname {E} (X|Y=y)=\int _{\mathcal {X}}xf_{X}(x|Y=y)dx}$

其中，${\displaystyle f_{X}(\,\cdot \,|Y=y)}$是在給定${\displaystyle Y=y}$下${\displaystyle X}$的條件機率密度函數。

正式的定義

給定${\displaystyle X}$是一個定義在機率空間${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}}_{0},P)}$上的隨機變數，${\displaystyle {\mathcal {F}}\subset {\mathcal {F}}_{0}}$是${\displaystyle {\mathcal {F}}}$的一個子σ-代數，且${\displaystyle E|X|<\infty }$。 則定義${\displaystyle X}$在給定${\displaystyle {\mathcal {F}}}$下的條件期望值${\displaystyle E(X|{\mathcal {F}})}$是滿足以下兩個條件的隨機變數${\displaystyle Y}$：

1. ${\displaystyle Y}$是${\displaystyle {\mathcal {F}}}$上的可測函數；
2. ${\displaystyle \forall A\in {\mathcal {F}}:\int _{A}XdP=\int _{A}YdP}$。

在這一定義下，${\displaystyle E(X|{\mathcal {F}})}$是存在且在幾乎必然的意義下唯一的。^[1]

條件機率的定義

參看

• 全機率公式
• 全期望值公式
• 聯合分布