極值

「最大值」和「最小值」均重新導向至此。關於幾個數之中最大或最小的一個，請見「最大與最小元」。

在數學中，極值（extremum）是極大值（maximum）與極小值（minimum）的統稱，意指在一個域上函數取得最大值或最小值的點的函數值。而使函數取得極值的點（的橫坐標）被稱作極值點。這個域既可以是一個鄰域，又可以是整個函數域（這時極值稱為最值、全域極值、絕對極值）。

定義

• 局部（相對）最大值：如果存在一個${\displaystyle \varepsilon >0}$，使得所有滿足${\displaystyle |x-x^{*}|<\varepsilon }$的${\displaystyle x}$都有${\displaystyle f(x^{*})\geq f(x)}$，我們就把點${\displaystyle x^{*}}$對應的函數值${\displaystyle f(x^{*})}$稱為一個函數${\displaystyle f}$的局部最大值。從函數圖像上看，局部最大值就像是山頂。
• 局部（相對）最小值：如果存在一個${\displaystyle \varepsilon >0}$，使得所有滿足${\displaystyle |x-x^{*}|<\varepsilon }$的x都有${\displaystyle f(x^{*})\leq f(x)}$，我們就把點${\displaystyle x^{*}}$對應的函數值${\displaystyle f(x^{*})}$稱為一個函數f的局部最小值。從函數圖像上看，局部最小值就像是山谷的底部。
• 全域（絕對）最大值：如果點${\displaystyle x^{*}}$對於任何${\displaystyle x}$都滿足${\displaystyle f(x^{*})\geq f(x)}$，則點${\displaystyle f(x^{*})}$稱為全域最大值。
• 全域（絕對）最小值：如果點${\displaystyle x^{*}}$對於任何${\displaystyle x}$都滿足${\displaystyle f(x^{*})\leq f(x)}$，則點${\displaystyle f(x^{*})}$稱為全域最小值。

極值的概念不僅僅限於定義在實數域上的函數。定義在任何集合上的實數值函數都可以討論其最大最小值。為了定義局部極值，函數值必須為實數，同時此函數的定義域上必須能夠定義鄰域。鄰域的概念使得在${\displaystyle x}$的定義域上可以有${\displaystyle |x-x^{*}|<\varepsilon }$。

局部最大值（最小值）也被稱為極值（或局部最佳值），全域最大值（最小值）也被稱為最值（或全域最佳值）。

求極值的方法

求全域極值是最佳化方法的目的。對於一元二階可導函數，求極值的一種方法是求駐點（亦稱為靜止點，停留點，英語：stationary point），也就是求一階導數為零的點。如果在駐點的二階導數為正，那麼這個點就是局部最小值；如果二階導數為負，則是局部最大值；如果為零，則還需要進一步的研究。

一般地，如果在駐點處的一階、二階、三階......直到N階導數都是零，而${\displaystyle N+1}$階導數不為零，則當${\displaystyle N}$奇數且${\displaystyle N+1}$階導數為正時，該點為極小值；當${\displaystyle N}$是奇數且${\displaystyle N+1}$階導數為負時，該點為極大值；如果${\displaystyle N}$是偶數，則該點不是極值。

如果這個函數定義在一個有界區域內，則還要檢查局域的邊界點。如果函數在定義域內存在不可導點，則這些不可導點也可能是極值點。

例子

• 函數${\displaystyle x^{2}}$有惟一最小值，在${\displaystyle x=0}$處取得。
• 函數${\displaystyle x^{3}}$沒有最值，也沒有極值，儘管其一階導數${\displaystyle 3x^{2}}$在${\displaystyle x=0}$處也為0。因為其二階導數(${\displaystyle 6x}$)在該點也是0，但三階導數不是零。
• 函數${\displaystyle \cos(x)}$有無窮多個最大值，在${\displaystyle x=0,\pm 2\pi ,\pm 4\pi ,\cdots }$，與無窮多個最小值在${\displaystyle x=\pm \pi ,\pm 3\pi ,\cdots }$。

求函數的極值時還應當考慮其不可導點，即導數不存在的點。如函數${\displaystyle y=|x|}$中0處的導數不存在，事實上從圖像上也能看出這一點來。而且0就是該函數的一個極小值。

多變量函數

對於多變量函數（多元函數），同樣存在在極值點的概念。其定義為：

設${\displaystyle f(P)}$在點${\displaystyle P_{0}}$某鄰域${\displaystyle U(P_{0})}$內有定義，若對於所有${\displaystyle P_{0}}$的去心鄰域的點${\displaystyle P}$，都有${\displaystyle f(P)<f(P_{0})}$，則稱${\displaystyle P_{0}}$是${\displaystyle f(P)}$的極大值；反之，則為極小值^[1]。

此外，也有鞍點的概念。

參見

• 機械平衡
• 極值定理