林尼克定理

林尼克定理（英語：Linnik's theorem）是解析數論中的一個定理，它回答了一個由狄利克雷定理自然推廣的問題。它聲稱，存在著正數 c 和 L 使得：如果我們用p(a,d)表示最小的素數等差數列

${\displaystyle a+nd,\ }$

其中 n 跑遍正整數，a 和 d 為任何的互質正整數滿足 1≤ a ≤ d -1，則：

${\displaystyle p(a,d)<cd^{L}.\;}$

本定理以尤里·林尼克（英語：Yuri Linnik）的名字命名，他證明它在1944年。^[1][2] 雖然林尼克的證據表明 c 和 L 是 可計算數，但是他沒有提供任何數值。

性質

目前已經知道， L ≤2對於幾乎所有整數d都成立.^[3]

在 廣義黎曼假設成立的前提下，有，

${\displaystyle p(a,d)\leq (1+o(1))\varphi (d)^{2}\ln ^{2}d\;,}$

這裡 ${\displaystyle \varphi }$是歐拉函數.^[4] 更強的上界是

${\displaystyle p(a,d)\leq \varphi (d)^{2}\ln ^{2}d\;,}$

也已證實。^[5]

目前猜測：

${\displaystyle p(a,d)<d^{2}.\;}$ ^[4]

L的邊界

常數 L 稱為林尼克常數 ^[6]

下表顯示了有關該常數迄今為止取得的進展。

L ≤	證實的年份	作者
10000	1957年	潘[7]
5448	1958年	潘
777	1965年	陳[8]
630	1971年	朱提拉
550	1970年	朱提拉
168	1977年	陳[9]
80	1977年	朱提拉
36	1977年	格雷厄姆[10]
20	1981年	格雷厄姆[11] (之前提交的陳1979年的文件)
17	1979年	陳[12]
16	1986年	王
13.5	1989年	陳 劉[13][14]
8	1990年	王[15]
5.5	1992年	希斯-布朗
5.18	2009年	吉羅里斯
5	2011	吉羅里斯

此外，在希斯-布朗的結果，常數 c 是有效的可計算數。