林家翹-錢學森方程

林-錢方程（Lin-Tsien equation）是林家翹-錢學森和創立的描述可壓縮流體中物體跨音速運動的非線性偏微分方程^[1][2]

${\displaystyle 2u_{tx}+u_{x}u_{xx}-u_{yy}=0.\,}$

行波解

利用Maple中的軟體包TWS_solution可得林-錢方程的多種行波解^[3]

u(x,y,t)=TWS_sol := {u(x, y, t) = _C1+(-(1/2)*ln(tanh(_C3+_C4*x+_C5*y+_C6*t)+1)+(1/2)*ln(tanh(_C3+_C4*x+_C5*y+_C6*t)-1))*_C2}
g[2] := {u(x, y, t) = _C1+arctan(1/\sqrt(csc(_C3+_C4*x+_C5*y+_C6*t)^2-1))*_C2}
g[2] := {u(x, y, t) = _C1+(-(1/2)*ln(coth(_C3+_C4*x+_C5*y+_C6*t)+1)+(1/2)*ln(coth(_C3+_C4*x+_C5*y+_C6*t)-1))*_C2}
g[2] := {u(x, y, t) = _C1+arctanh(1/\sqrt(1+csch(_C3+_C4*x+_C5*y+_C6*t)^2))*_C2}

找到了一個新的可積（3 + 1）維泛化; 見論文 ^[4]的系統（40）

行波圖

Lin-Tsien equation traveling wave plot

Lin Tsien eq TWS extended coth

Lin Tsien eq TWS extended csch

Lin-Tsien nlpde animation

Lin-Tsien nlpde 3d plot

Lin Tsien eq extended csc arctan