查普曼-科爾莫戈羅夫等式

在數學之機率論中，尤其是隨機過程理論中，查普曼-科爾莫戈羅夫等式是一個重要的結論。它將一個隨機過程的幾個不同維的聯合分布函數聯繫在一起。

假設 { f_i } 是一個隨機過程，即一個隨機變數集合（每個元素對應一個只命名不排序的索引）。 記

${\displaystyle p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})}$

為從f₁到f_n的各隨機變數的聯合分布函數，則查普曼-科爾莫戈羅夫等式為：

${\displaystyle p_{i_{1},\ldots ,i_{n-1}}(f_{1},\ldots ,f_{n-1})=\int _{-\infty }^{\infty }p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})\,df_{n}}$

也就是說，這是一個直接定義在干擾隨機變數上的條件機率。 （注意這裡各隨機變數的順序不重要）

該公式名稱來自數學家西德尼·查普曼和安德雷·科摩哥洛夫。

特化為馬可夫鏈

如果隨機過程特定為馬可夫鏈，查普曼-科爾莫戈羅夫等式就是關於轉移機率的公式。在馬可夫鏈中，隨機變數在一個按時間排序的數組${\displaystyle i_{1}<\ldots <i_{n}}$中。按馬可夫性質（無記憶性質）,

${\displaystyle p_{i_{1},\ldots ,i_{n}}(f_{1},\ldots ,f_{n})=p_{i_{1}}(f_{1})p_{i_{2};i_{1}}(f_{2}\mid f_{1})\cdots p_{i_{n};i_{n-1}}(f_{n}{\mid }f_{n-1}),}$

（其中條件機率${\displaystyle p_{i;j}(f_{i}{\mid }f_{j})}$是${\displaystyle i>j}$時間的轉移機率。查普曼-科爾莫戈羅夫等式簡化為：

${\displaystyle p_{i_{3};i_{1}}(f_{3}{\mid }f_{1})=\int _{-\infty }^{\infty }p_{i_{3};i_{2}}(f_{3}\mid f_{2})p_{i_{2};i_{1}}(f_{2}\mid f_{1})df_{2}.}$

如果馬可夫鏈的狀態空間的機率分布是離散的，查普曼-科爾莫戈羅夫等式可表示為（可到無窮維的）矩陣相乘：

${\displaystyle P(t+s)=P(t)P(s)\,}$

（其中${\displaystyle P(t)}$是轉移矩陣，${\displaystyle X_{t}}$是t時間的系統狀態），則對於系統狀態空間中的任意兩個點i和j：

${\displaystyle P_{ij}(t)=P(X_{t}=j\mid X_{0}=i).}$

相關條目

• 馬可夫鏈範例（英語：Examples of Markov chains）
• 福克-普朗克方程式
• 柯莫哥洛夫後向方程式（英語：Kolmogorov backward equation）
• 主方程式（物理）

參考文獻

• The Legacy of Andrei Nikolaevich Kolmogorov Curriculum Vitae and Biography. Kolmogorov School. Ph.D. students and descendants of A.N. Kolmogorov. A.N. Kolmogorov works, books, papers, articles. Photographs and Portraits of A.N. Kolmogorov.
• 埃里克·韋斯坦因. Chapman-Kolmogorov Equation. MathWorld.