純量投影

數學裡，純量投影（scalar projection）是兩個向量之間，結果為純量的一種運算。向量${\displaystyle \mathbf {a} }$在向量${\displaystyle \mathbf {b} }$上的純量投影，可以用下式表示：

${\displaystyle s=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\mathbf {a} \cdot \mathbf {\hat {b}} ,}$

a在b上的純量投影，若0° ≤ θ ≤ 90°，純量投影的值和其向量投影的量值相等

a在b上的向量投影（a₁），以及a在b上的向量排斥（vector rejection，a₂

其中運算子${\displaystyle \cdot }$是點積，${\displaystyle {\hat {\mathbf {b} }}}$是${\displaystyle \mathbf {b} }$方向的單位向量，${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|}$是${\displaystyle \mathbf {a} }$的長度，${\displaystyle \theta }$是${\displaystyle \mathbf {a} }$和${\displaystyle \mathbf {b} }$之間的夾角^[1]。

純量投影是純量，等於${\displaystyle \mathbf {a} }$在${\displaystyle \mathbf {b} }$方向投影的長度，若投影和${\displaystyle \mathbf {b} }$方向相反，純量投影會有負號。

將${\displaystyle \mathbf {a} }$在${\displaystyle \mathbf {b} }$上的純量投影，乘以${\displaystyle \mathbf {\hat {b}} }$即可得到上述的投影向量，也稱為${\displaystyle \mathbf {a} }$在${\displaystyle \mathbf {b} }$上的向量投影。

以角度θ為基礎的定義

若${\displaystyle \mathbf {a} }$和${\displaystyle \mathbf {b} }$的夾角${\displaystyle \theta }$已知，${\displaystyle \mathbf {a} }$在${\displaystyle \mathbf {b} }$上的純量投影可以用以下方式計算

${\displaystyle s=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta .}$（s等於圖中的${\displaystyle \left\|\mathbf {a} _{1}\right\|}$）

在純量投影已知時，也可以用上述公式求夾角θ。

以向量a和b的定義

若不知道${\displaystyle \theta }$，可以用${\displaystyle \mathbf {a} }$和${\displaystyle \mathbf {b} }$，配合以下的點積公式${\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }$，計算${\displaystyle \theta }$的餘弦：

${\displaystyle {\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}=\cos \theta }$

依此性質，純量投影${\displaystyle s}$的定義可以寫成：

${\displaystyle s=\left\|\mathbf {a} _{1}\right\|=\left\|\mathbf {a} \right\|\cos \theta =\left\|\mathbf {a} \right\|{\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}={\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{\left\|\mathbf {b} \right\|}}\,}$

性質

若${\displaystyle 90^{\circ }<\theta \leq 180^{\circ }}$，純量投影為負。若夾角小於90°，其數值等於向量投影的大小。若向量投影用${\displaystyle \mathbf {a} _{1}}$表示，其長度為${\displaystyle \left\|\mathbf {a} _{1}\right\|}$，則：

${\displaystyle s=\left\|\mathbf {a} _{1}\right\|}$，若${\displaystyle 0^{\circ }\leq \theta \leq 90^{\circ }}$時

${\displaystyle s=-\left\|\mathbf {a} _{1}\right\|}$，若${\displaystyle 90^{\circ }<\theta \leq 180^{\circ }}$時

相關條目

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• 叉積
• 向量投影

來源

• Dot products - www.mit.org
• Scalar projection - Flexbooks.ck12.org
• Scalar Projection & Vector Projection - medium.com
• Lesson Explainer: Scalar Projection | Nagwa