格朗沃爾不等式

在數學中，格朗沃爾引理或格朗沃爾不等式說明了對於滿足一定的微分方程或積分方程的函數，有相應的關於此微分方程或積分方程的不等式。格朗沃爾不等式有兩種形式，分別是積分形式和微分形式。積分形式下的不等式可以有幾種不同的寫法。

格朗沃爾不等式常常被用來估計常微分方程的解的取值範圍。比如，它可以用來證明初值問題的解的唯一性（見柯西-利普希茨定理）。

格朗沃爾不等式的名稱來自多瑪·哈肯·格朗沃爾。格朗沃爾是一位瑞典的數學家，後來移居美國。

格朗沃爾不等式的微分形式首先由格朗沃爾在1919年證明^[1]。而積分形式則是由理察·貝爾曼（Richard Bellman）在1943年證明^[2]。

微分形式

設 I 是一個實數區間，記為：[a, ∞) 或 [a, b] 或 [a, b)，其中 a < b。又設β 和 u 為定義在 I 上的實數值的連續函數。假設 u 是一個在 I 的內部（也就是不包括端點）可微的函數，並且滿足如下的微分不等式：

${\displaystyle u'(t)\leq \beta (t)\,u(t),\qquad t\in I^{\circ },}$

那麼對於所有的${\displaystyle t\in I^{\circ }}$，函數 u 都小於等於以下微分方程${\displaystyle y'(t)=\beta (t)\,y(t)}$的解：

${\displaystyle u(t)\leq u(a)\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )}}$

注意：不等式對函數 β 和 u 的符號沒有任何要求。

證明

如果設

${\displaystyle v(t)=\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )}}$

是以下微分方程

${\displaystyle v'(t)=\beta (t)\,v(t),}$

其中 v(a) = 1 的解，那麼對所有的 t 都有 v(t) > 0， 因此根據複合函數求導法則中的除法定則：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {u'v-v'u}{v^{2}}}\leq {\frac {\beta uv-\beta vu}{v^{2}}}=0}$

對所有的 t > a 成立，因此

${\displaystyle {\frac {u(t)}{v(t)}}\leq {\frac {u(a)}{v(a)}}=u(a)}$

於是格朗沃爾不等式得證。

積分形式

設 I 是一個實數區間，記為：[a, ∞) 或 [a, b] 或 [a, b)，其中 a < b。又設 α、β 和 u 為定義在 I 上的實數值的函數。假設 β 和 u 是連續的，則有：

• (a) 如果 β 是非負函數並且 u 滿足如下的積分不等式：

${\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\beta (s)u(s)\,\mathrm {d} s,\qquad t\in I}$，

那麼

${\displaystyle u(t)\leq \alpha (t)+\int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\mathrm {d} s,\qquad t\in I}$。

• (b) 如果在之前的條件下， α 還是一個常數，那麼

${\displaystyle u(t)\leq \alpha \exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (s)\,\mathrm {d} s{\biggr )},\qquad t\in I.}$

注意：

• 不等式的成立條件裡並沒有限制 α 和 u 的符號；
• 相比於微分形式，積分形式中對函數 u 的可微性沒有做要求；

證明

(a) 定義

${\displaystyle v(s)=\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\int _{a}^{s}\beta (r)u(r)\,\mathrm {d} r,\qquad s\in I.}$

則運用複合函數求導法則中的乘積法則、鏈式法則、指數函數的求導法則以及微積分基本定理，可以得到：

${\displaystyle v'(s)={\biggl (}\underbrace {u(s)-\int _{a}^{s}\beta (r)u(r)\,\mathrm {d} r} _{\leq \,\alpha (s)}{\biggr )}\beta (s)\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\mathrm {d} r{\biggr )},\qquad s\in I}$，

由於注意到括號中的部分小於 α，可以得到相應的不等式，並進行積分。由於函數 β 以及其指數都是非負函數，不等號保持不變。然而 v(a) = 0，因此積分式等價於：

${\displaystyle v(t)\leq \int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}{-}\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}\mathrm {d} s.}$

再運用第一步里 v(t) 的定義，就得到：

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{a}^{t}\beta (s)u(s)\,\mathrm {d} s&=\exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}v(t)\\&\leq \int _{a}^{t}\alpha (s)\beta (s)\exp {\biggl (}\underbrace {\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r-\int _{a}^{s}\beta (r)\,\mathrm {d} r} _{=\,\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r}{\biggr )}\mathrm {d} s\end{aligned}}}$。

最後將原來條件裡的不等式帶入上式左邊，就可以得到格朗沃爾不等式了。

(b) 如果函數 α 為常數函數，那麼命題 (a) 中不等式的右邊可以進行積分。由微積分基本定理可以獲得：

${\displaystyle {\begin{aligned}u(t)&\leq \alpha +{\biggl (}{-}\alpha \exp {\biggl (}\int _{s}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )}{\biggr )}{\biggr |}_{s=a}^{s=t}\\&=\alpha \exp {\biggl (}\int _{a}^{t}\beta (r)\,\mathrm {d} r{\biggr )},\qquad t\in I\end{aligned}}}$。

參見

• 全局解