楊對稱化子

楊對稱化子（英語：Young symmetrizer），是表示論中的一種工具，用於構造對稱羣${\displaystyle {S}_{n}}$的不可約表示。

定義

• ${\displaystyle {S}_{n}}$是 n次對稱群
• ${\displaystyle \mathbb {C} {S}_{n}}$是${\displaystyle {S}_{n}}$的羣環
• ${\displaystyle \lambda =(\lambda _{1},\lambda _{2},\cdot \cdot \cdot ,\lambda _{k})}$表示一個楊圖
  • 其中${\displaystyle \lambda _{1}+\cdot \cdot \cdot +\lambda _{k}=n}$是n的整數分拆。
• ${\displaystyle P=\{g\in {S}_{n}|}$楊表中任一行所構成的集合都在 ${\displaystyle g}$ 下不變${\displaystyle \}}$
• ${\displaystyle Q=\{g\in {S}_{n}|}$楊表中任一列所構成的集合都在 ${\displaystyle g}$ 下不變${\displaystyle \}}$
• ${\displaystyle a_{\lambda }=\sum _{g\in P}e_{g}\in \mathbb {C} {S}_{n}}$
• ${\displaystyle b_{\lambda }=\sum _{g\in Q}\operatorname {sgn}(g)e_{g}\in \mathbb {C} {S}_{n}}$

其中 ${\displaystyle e_{g}}$ 是對應於 ${\displaystyle g}$ 的單位向量， ${\displaystyle \operatorname {sgn}(g)}$ 是 ${\displaystyle g}$ 的置換符號。於是乘積

• ${\displaystyle c_{\lambda }:=a_{\lambda }b_{\lambda }\in \mathbb {C} {S}_{n}}$

就稱爲楊對稱化子(Young symmetrizer)。

參考書目

• William Fulton / Joe Harris (1991): "Representation Theory", ISBN 0-387-97495-4 , pp.46,45