機率模型

機率模型（Statistical Model，也稱為Probabilistic Model）是用來描述不同隨機變數之間關係的數學模型，通常情況下刻畫了一個或多個隨機變數之間的相互非確定性的機率關係。從數學上講，該模型通常被表達為${\displaystyle (Y,P)}$，其中${\displaystyle Y}$是觀測集合用來描述可能的觀測結果，${\displaystyle P}$是${\displaystyle Y}$對應的機率分布函數集合。若使用機率模型，一般而言需假設存在一個確定的分布${\displaystyle P}$生成觀測數據${\displaystyle Y}$。因此通常使用統計推論的辦法確定集合${\displaystyle P}$中誰是數據產生的原因。

大多數統計檢定都可以被理解為一種機率模型。例如，一個比較兩組數據均值的司徒頓t檢定可以被認為是對該機率模型母數是否為0的檢定。此外，檢定與模型的另一個共同點則是兩者都需要提出假設並且誤差在模型中常被假設為常態分布。

定義

機率模型${\displaystyle {\mathcal {P}}}$是一個機率分布函數或密度函數的集合。可分為母數模型，無母數和半母數模型。

母數模型是一組由有限維母數構成的分布集合${\displaystyle {\mathcal {P}}=\{\mathbb {P} _{\theta }:\theta \in \Theta \}}$。其中${\displaystyle \theta }$是母數，而${\displaystyle \Theta \subseteq \mathbb {R} ^{d}}$是其可行歐幾里得子空間。機率模型可被用來描述一組可產生已知採樣數據的分布集合。例如，假設數據產生於唯一母數的高斯分布，則我們可假設該機率模型為${\displaystyle {\mathcal {P}}=\{\mathbb {P} (x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}\sigma }}\exp \left\{-{\frac {1}{2\sigma ^{2}}}(x-\mu )^{2}\right\}:\mu \in \mathbb {R} ,\sigma >0\}}$。

無母數模型則是一組由無限維母數構成的機率分布函數集合，可被表示為${\displaystyle {\mathcal {P}}=\{{\text{all distributions}}\}}$。

相比於無母數模型和母數模型，半母數模型也由無限維母數構成，但其在分布函數空間內並不緊密。例如，一組混疊的高斯模型。確切的說，如果${\displaystyle d}$是母數的維度，${\displaystyle n}$是數據點的大小，如果隨著${\displaystyle d\rightarrow \infty }$和${\displaystyle n\rightarrow \infty }$則${\displaystyle d/n\rightarrow 0}$，則我們稱之為半母數模型。