歐拉四平方和恆等式

歐拉四平方和恆等式說明，如果兩個數都能表示為四個平方數的和，則這兩個數的積也能表示為四個平方數的和。等式為：

${\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2})=\,}$

${\displaystyle (a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4})^{2}+\,}$

${\displaystyle (a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}+a_{3}b_{4}-a_{4}b_{3})^{2}+\,}$

${\displaystyle (a_{1}b_{3}-a_{2}b_{4}+a_{3}b_{1}+a_{4}b_{2})^{2}+\,}$

${\displaystyle (a_{1}b_{4}+a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}+a_{4}b_{1})^{2}\,}$

歐拉在1748年5月4日寄給哥德巴赫的一封信中提到了這個恆等式。^[1][2]它可以用基本的代數來證明，在任何交換環中都成立。如果a_s和b_s是實數，有一個更加簡潔的證明：這個等式表達了兩個四元數的積的絕對值就是它們絕對值的積的事實，就像婆羅摩笈多-斐波那契恆等式與複數的關係一樣。

拉格朗日用這個恆等式來證明四平方和定理。

參見

• 四元數
• 婆羅摩笈多-斐波那契恆等式
• 八平方和恆等式