歐米加常數

歐米加常數是一個數學常數，定義為：

${\displaystyle \Omega \,\exp(\Omega )=1.\,}$

歐米加常數

歐米加常數
識別
種類	無理數 超越數
符號	${\displaystyle \Omega }$
位數數列編號	A030178
性質
定義	${\displaystyle \Omega e^{\Omega }=1}$
以此為根的多項式或函數	${\displaystyle xe^{x}-1=0}$
表示方式
值	${\displaystyle \Omega \approx }$0.5671432904... W(1)，W是朗伯W函數
二進制	0.100100010011000001001101…
十進制	0.567143290409783872999968…
十六進制	0.91304D7C74B2BA5EAFDDAA62…

它是W(1)的值，其中W是朗伯W函數。

Ω的值大約為0.5671432904097838729999686622 （OEIS數列A030178）。它具有以下的性質：

${\displaystyle e^{-\Omega }=\Omega ,\,}$

或

${\displaystyle \ln(1/\Omega )=\Omega .}$

我們可以用迭代的方法來計算Ω，從Ω₀開始，用下面的數列進行迭代：

${\displaystyle \Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}}.\,}$

當n→∞時，這個數列收斂於Ω。

無理數和超越數

我們可以用e是超越數的事實來證明Ω是無理數。如果Ω是有理數，則存在整數p和q，使得

${\displaystyle {\frac {p}{q}}=\Omega }$

所以

${\displaystyle 1={\frac {pe^{\frac {p}{q}}}{q}}}$

${\displaystyle e={\sqrt[{p}]{\frac {q^{q}}{p^{q}}}}}$

這樣，e就是p次代數數。但是，e實際上是超越數，所以Ω一定是無理數。

Ω實際上也是一個超越數，這可以由林德曼-魏爾斯特拉斯定理直接推出。如果Ω是代數數，exp(Ω)將會是超越數，exp⁻¹(Ω)也是超越數。但這與它是代數數的假設矛盾。

參見

• 朗伯W函數

參考文獻

• Michon, G. P. "Final Answers: Numerical Constants." http://www.numericana.com/answer/constants.htm#omega （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）.
• Moll, V. H. "Some Questions in the Evaluation of Definite Integrals." MAA Short Course, San Antonio, TX. Jan. 2006. https://web.archive.org/web/20080402045620/http://crd.lbl.gov/~dhbailey/expmath/maa-course/Moll-MAA.pdf.

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. 欧米加常数. MathWorld.