歐拉線

在平面幾何中，歐拉線，或稱尤拉線（圖中的紅線）是指過三角形的垂心（藍）、外心（綠）、重心（黃）和九點圓圓心（紅點）的一條直線。萊昂哈德·歐拉，也稱尤拉，證明了在任意三角形中，以上四點共線。歐拉線上的四點中，九點圓圓心到垂心和外心的距離相等，而且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半。注意內心一般不在歐拉線上，除了等腰三角形外。

歐拉線

證明

如圖${\displaystyle H,G,O}$分別是${\displaystyle {\triangle }ABC}$的垂心，重心，外心。

設${\displaystyle D}$為直線${\displaystyle BO}$和${\displaystyle {\triangle }ABC}$外接圓的交點，並連結${\displaystyle AH,AD,CD,CH}$。

（1） ${\displaystyle {\because \quad }BD}$是直徑，${\displaystyle {\therefore \quad }CD{\perp }BC}$且${\displaystyle AD{\perp }AB}$。

又${\displaystyle H}$是垂心，${\displaystyle {\therefore \quad }AH{\perp }BC}$且${\displaystyle CH{\perp }AB}$。

${\displaystyle {\therefore \quad }CD//AH}$，${\displaystyle AD//CH}$。

${\displaystyle ADCH}$為平行四邊形。

->${\displaystyle AH=DC}$

又${\displaystyle O,\;M}$分別是${\displaystyle BD,\;CB}$的中點，

${\displaystyle {\therefore \quad }DC=2OM}$， ${\displaystyle AH=2OM}$

（2） 作${\displaystyle BC}$邊上的中線${\displaystyle AM,}$連結${\displaystyle OM,\;OH}$

設${\displaystyle OH}$交${\displaystyle AM}$於點${\displaystyle G'}$

${\displaystyle {\because \quad }OM{\perp }BC,\;{\triangle }AHG'{\sim \triangle }MOG',\;AH=DC=2OM}$，

${\displaystyle {\therefore \quad }AG'=2G'M}$，

${\displaystyle {\therefore \quad }G'}$即${\displaystyle \triangle ABC}$的重心${\displaystyle G}$

${\displaystyle \therefore \quad \triangle ABC}$的垂心${\displaystyle H,}$重心${\displaystyle G,}$外心${\displaystyle O}$三點共線${\displaystyle ,}$直線${\displaystyle HGO}$即歐拉線

推論

九點圓的圓心也在歐拉線上，且在垂心到外心的線段的中點

如圖，H、G、Ω分別是△ABC的垂心、重心、外心，三角形的三邊中點I _i，三高的垂足H_i，和頂點到垂心的三條線段的中點J _i

令HΩ和J₁I₁的交點為K，∵BΩ=CΩ，BI₁=CI₁，∴ΩI₁⊥BC，又∵AH₁⊥BC，∴ΩI₁∥AH₁。

∵∠GΩI₁=∠AHG，∠GAH=∠GI₁Ω，∴△AGH∽△GΩI₁。∵AG=2GI₁，∴AH=2ΩI₁，即ΩI₁=J₁H。

∵ΩI₁∥AH₁， J₁H=ΩI₁ ∴J₁K=KI₁, HK = KΩ。

同理J₂K=KI₂， J₃K=KI₃。 可知K為九點圓圓心。

∵點K在HΩ上，HK = KΩ

∴九點圓圓心在歐拉線上，且在垂心到外心的線段的中點。

參考資料

1. 数学题解辞典·平面几何. 上海辭書出版社.

外部連結

• Altitudes and the Euler Line （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Euler Line and 9-Point Circle （頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）