正切定理

正切定理是三角學中的一個定理。^[1]根據該定理，在平面三角形中，正切定理說明任意兩條邊的和除以第一條邊減第二條邊的差所得的商等於這兩條邊的對角的和的一半的正切除以第一條邊對角減第二條邊對角的差的一半的正切所得的商。即：

${\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\mathrm {tan} \,{\frac {\alpha -\beta }{2}}}{\mathrm {tan} \,{\frac {\alpha +\beta }{2}}}}}$

${\displaystyle {\frac {b-c}{b+c}}={\frac {\mathrm {tan} \,{\frac {\beta -\gamma }{2}}}{\mathrm {tan} \,{\frac {\beta +\gamma }{2}}}}}$

${\displaystyle {\frac {c-a}{c+a}}={\frac {\mathrm {tan} \,{\frac {\gamma -\alpha }{2}}}{\mathrm {tan} \,{\frac {\gamma +\alpha }{2}}}}}$

平面三角形

法蘭西斯·韋達（François Viète）曾在他對三角法研究的第一本著作《應用於三角形的數學法則》中提出正切定理。不過在沒有計算機的輔助求解三角形時，這定理可比餘弦定理更容易利用對數來運算投影等問題。

證明

由${\displaystyle {\frac {a+b}{a-b}}}$開始，由正弦定理得出

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+b}{a-b}}&={\frac {a{\frac {\sin \alpha }{a}}+b{\frac {\sin \beta }{b}}}{a{\frac {\sin \alpha }{a}}-b{\frac {\sin \beta }{b}}}}\\&={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\sin \alpha -\sin \beta }}\\&={\frac {2\sin[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]\cos[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{2\cos[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]\sin[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}}\end{aligned}}}$

（和差化積，參閱三角恆等式）

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a+b}{a-b}}&={\frac {\sin[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]\cos[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\cos[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]\sin[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}}\\&={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}}\end{aligned}}}$

參見

• 正切
• 畢氏定理
• 三角學
• 三角函數
• 三角恆等式
• 正弦定理
• 餘弦定理