比耶魯姆長度

比耶魯姆長度（Bjerrum length ）是衡量介質極化程度的一種方法，定義為：在介電常數為 ${\displaystyle \epsilon _{r}}$ 的介質中，距離為${\displaystyle l_{B}}$ 的兩個基本電荷對之間的靜電勢能${\displaystyle U(r)}$ 等於無規熱能 ${\displaystyle k_{B}T}$ （或者距離${\displaystyle l_{B}}$ 的一摩爾基本電荷對之間的靜電勢能 ${\displaystyle U(r)}$ 等於無規熱能 ${\displaystyle RT}$ ）。

其中${\displaystyle k_{B}}$為波爾茲曼常數，${\displaystyle T}$為絕對溫度，R氣體常數 是波茲曼常數 k 乘上阿伏伽德羅常數 N_A。當使用摩爾數計算粒子數時，較常使用氣體常數。 比耶魯姆長度以丹麥化學家比耶魯姆（英語：Niels Bjerrum）^[1]的名字命名。比耶魯姆長度是電解質體系、聚電解質體系和膠體分散系等中的一個很自然的尺度。^[2]

在國際單位制中，比耶魯姆長度為

${\displaystyle l_{B}={\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}\epsilon _{r}k_{B}T}}}$

其中，${\displaystyle e}$為基本電荷的電量，${\displaystyle \epsilon _{0}}$為真空電容率，${\displaystyle \epsilon _{r}}$為溶液的相對介電常數。對於水溶液，在室溫（${\displaystyle T=300K}$），${\displaystyle \epsilon _{r}\approx 80}$，於是${\displaystyle l_{B}\approx 0.7{\mbox{nm}}}$

在 高斯單位制中， ${\displaystyle 4\pi \epsilon _{0}=1}$ ，比耶魯姆長度為

${\displaystyle l_{B}={\frac {e^{2}}{\epsilon _{r}k_{B}T}}.}$

例子

基本電子對間的庫倫勢定義為：

${\displaystyle u\left(r\right)={\frac {{e}^{2}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{\varepsilon }_{r}}r}}}$

空氣中，${\displaystyle \epsilon _{r}}$ = 1，一摩爾相距為 ${\displaystyle r={{l}_{B}}}$ 的基本電子對，電勢能為：

${\displaystyle u\left({{l}_{B}}\right)={\frac {{e}^{2}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{l}_{B}}}}N}$

根據比耶魯姆長度的定義，庫倫勢等於內能: ${\displaystyle u\left({{l}_{B}}\right)=RT}$

${\displaystyle {\frac {{e}^{2}}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}{{l}_{B}}}}N=RT\Rightarrow {{l}_{B}}={\frac {{{e}^{2}}N}{4\pi {{\varepsilon }_{0}}RT}}}$

當溫度 ${\displaystyle T=298.15K}$ 時:

${\displaystyle {{l}_{B}}={\frac {1.386\times {{10}^{-4}}J\centerdot m\centerdot mo{{l}^{-1}}}{\left(8.314J{{K}^{-1}}\times 298.15K\right)}}=560{\overset {\circ }{\mathop {A} }}\,}$

${\displaystyle 560{\overset {\circ }{\mathop {A} }}}$ 在原子尺度上來說是一個非常長的距離，是原子半徑的許多倍，當兩個電荷的距離比這個距離小的時候，它們會感受到非常強烈的吸引（或排斥）力，由於庫侖勢能比布朗運動的能量高，它們會變得有規則。反之，當距離大於比耶魯姆長度的時候，庫侖力對電荷的束縛比較小，電荷顯得更加自由。