畢達哥拉斯樹

畢達哥拉斯樹（英語：Pythagoras tree）是一個以正方形為起點建立起的分形平面，1942年由荷蘭數學教師阿爾伯特·E·博斯曼提出^[1]。由於其建立過程的第一步是在大正方形上方建立兩個較小的正方形，三個正方形間是一個等腰直角三角形，故以發現勾股定理的古希臘數學家畢達哥拉斯命名。最大正方形的尺寸為L×L，那麼整個畢達哥拉斯樹會局限在6L×4L的空間中^[2][3]。畢達哥拉斯樹的平滑曲線是萊維C形曲線。

畢達哥拉斯樹

建立

Construction of the Pythagoras tree, order 1	Order 2	Order 3	Order 4
起點	第一級	第二級	第三級

畢達哥拉斯樹的建立是從一個大正方形開始的，在該正方形的上方建立兩個全等的較小正方形，三個正方形間呈現一個等腰直角三角形，故較小正方形的邊長為大正方形邊長的√2/2。對這兩個較小的正方形重複這一過程，得到四個更小的正方形，如此繼續下去。若設第一個大正方形的邊長為1，在第n級時，會增加2ⁿ個小正方形，每個小正方的邊長是 (√2/2)ⁿ, 故每一步增加的面積均為2ⁿ×(½√2)²ⁿ=1，從這一點來看，當n趨近於無窮時，畢達哥拉斯樹的總面積也趨於無窮。但實際上的情況是，當n大於5時，所增加的小正方形會發生互相重疊，導致畢達哥拉斯樹的面積是有限的，它局限在一個6×4 的盒子裡，但具體值不易求出^[4]。

角度變化

第四級	第十級

畢達哥拉斯樹的一個變種是改變正方形之間的夾角，比如第一步時讓兩個較小的正方形和大正方形之間的夾角為60度，三個正方形之間的三角形成為等邊三角形，這導致組成樹的每一個正方形的邊長都相等。這一變種到了第四步開始就會發生重疊，最後形成了全等的正方形組成的一個大六邊形。