沃默斯利數

沃默斯利數（Womersley number），會用α或${\displaystyle {\text{Wo}}}$的符號表示，是生物流體力學及生物流體動力學（英語：biofluid dynamics）的無量綱量。是表示脈動流（英語：pulsatile flow）頻率以及黏滯效應之間的關係。沃默斯利數得名自約翰·羅納德·沃默斯利（英語：John R. Womersley）（1907–1958），為紀念他在動脈血液流動上的研究，因此命名^[1]。在實驗建模時（實驗研究中要比例放大血管系統時），會根據沃默斯利數來維持動態相似性（英語：dynamic similarity）。在確認邊界層厚度，判斷進入效應是否可忽略時，也會用到沃默斯利數。

有些文獻將沃默斯利數的平方稱為斯托克斯數（Stokes number，${\displaystyle {\text{St}}}$）^[2]，紀念喬治·斯托克斯在斯托克第二問題（英語：Stokes second problem）上的先驅貢獻。

推導

沃默斯利數（常用${\displaystyle \alpha }$來表示）定義如下

${\displaystyle \alpha ^{2}={\frac {\text{transient inertial force}}{\text{viscous force}}}={\frac {\rho \omega U}{\mu UL^{-2}}}={\frac {\omega L^{2}}{\mu \rho ^{-1}}}={\frac {\omega L^{2}}{\nu }}\,,}$

其中L是適當的長度尺度（英語：length scale）（例如管路的直徑）、ω是振動的角頻率、ν, ρ, μ分別是流體的黏度、密度及動黏度^[3]。沃默斯利數一般會寫成以下沒有冪次的式子

${\displaystyle \alpha =L\left({\frac {\omega \rho }{\mu }}\right)^{\frac {1}{2}}\,.}$

在心血管系統中，脈動頻率會隨血管距脈動源（心臟）的距離而減少。不過脈動頻率的變化在一個數量級（OoM）以內。在心血管系統中，沃默斯利數受脈動頻率的影響不大。

特徵長度（在血管系統中是血管直徑）是系統的重要特徵，也是決定沃默斯利數的重要因素。血管系統中，特徵長度的變化會到達三個數量級，因此對沃默斯利數的影響會比脈動頻率要大。利用頻率、秥黏度及密度的標準值，可以估計人類血管的沃默斯利數：

${\displaystyle \alpha =L\left({\frac {\omega \rho }{\mu }}\right)^{\frac {1}{2}}\,.}$

以下是人類不同血管內的沃默斯利數：

血管	直徑（公尺）	${\displaystyle \alpha }$
大動脈	0.025	13.83
動脈	0.004	2.21
小動脈	3⋅10^-5	0.0166
微血管	8⋅10^-6	4.43⋅10^-3
小靜脈	2⋅10-5	0.011
靜脈	0.005	2.77
大靜脈	0.03	16.6

沃默斯利數也可以用無因次的雷諾數（Re）及斯特勞哈爾數（St）表示：

${\displaystyle \alpha =\left(2\pi \,\mathrm {Re} \,\mathrm {St} \right)^{1/2}\,.}$

沃默斯利數出現在脈動流的線性化納維-斯托克斯方程（假定是不可壓縮的層流）方程的解裡。沃默斯利數表示瞬間或是振盪慣性力和剪力之間的比例。若${\displaystyle \alpha }$較小（1或是更小的值），表示脈動頻率很低，在每一個週期中，都有足夠時間讓管路中的速度分佈發展成拋物線分佈，流和壓力梯度幾乎是同相位，因此可以配合瞬間壓力梯度，用泊肅葉定律來近似。若${\displaystyle \alpha }$較大（10或是更大），表示脈動頻率很大，速度分布會比較平，類似管塞的外形，而平均流會落後壓力梯度約90度。沃默斯利數和雷諾數決定了動態相似性^[4]。

邊界層厚度${\displaystyle \delta }$和瞬間加速度有關。和沃默斯利數成反比^[5]

${\displaystyle \delta =\left(L/\alpha \right),}$

其中L為特徵長度。

生物流體力學

考慮一個許多管路組成的網路系統，其中從大管徑的管路，漸漸變成小管徑的管路（例如血管系統），在管路系統中的頻率、密度及黏度多半都是定值，而管路的管徑會隨位置而不同。在大血管內的沃默斯利數數值較大，隨著血管分支，漸漸變細，沃默斯利數會變小，而且會變的非常小。在終末動脈（terminal arteries）處的沃默斯利數接近1，在小動脈、微血管及小靜脈的沃默斯利數小於1。這區域比較不受慣性力的影響,流動是由黏性應力以及壓力梯度所控制。這稱為微循環^[5]。

以下是犬科動物在心率2 Hz時，各部位的沃默斯利數^[5]：

• 升主動脈 — 13.2
• 降主動脈 — 11.5
• 腹主動脈 — 8
• 股動脈 — 3.5
• 頸動脈 — 4.4
• 小動脈 —0.04
• 微血管 — 0.005
• 小靜脈 — 0.035
• 下腔靜脈 — 8.8
• 主肺動脈 — 15

有研究者提出普遍性的生物比例律（描述代謝率、壽命、長度和體重的冪次律關係）是為了讓需要的能量最小化的結果，包括血管的分形結構，以及血液從大血管到小血管的沃默斯利數變小都是這類的例子^[6]。