莫德爾猜想

莫德爾猜想（Mordell conjecture），又稱法爾廷斯定理（Faltings's theorem），是一個由路易·莫德爾（英語：Louis Mordell）^[1]提出的算術幾何猜想，這猜想認為，任何有理數域上虧格數大於一的曲線至多只有有限多個有理點。這猜想於1983年為格爾德·法爾廷斯所證明^[2]，並從此改名為法爾廷斯定理，而之後這猜想被推廣至任何代數數域上。

法爾廷斯定理

格爾德·法爾廷斯
領域	算術幾何
猜想提出者	路易·莫德爾（英語：Louis Mordell）
猜想提出年	1922
最初證明者	格爾德·法爾廷斯
最初證明年	1983
推廣	邦別里－朗猜想（英語：Bombieri–Lang conjecture） 莫德爾－朗猜想（英語：Mordell–Lang conjecture）
可得結果	西葛爾的整數點定理（英語：Siegel's theorem on integral points）

背景

設C為一個非特異（英語：Singular point of an algebraic variety）的、位於有理數域上且虧格數為g的代數曲線，則C上的有理點可由下列關係決定：

• 當g = 0時，C要不沒有有理點，要不有無限多的有理點，此情況下C可視為圓錐曲線。
• 當g = 1時，C沒有有理點，或者為一個有理點構成有限生成阿貝爾群的橢圓曲線（此即莫德爾定理，之後被推廣為莫德爾－韋伊定理（英語：Mordell–Weil theorem））；此外，馬祖爾撓定理（英語：Mazur's torsion theorem）對相關的撓子群的結構做出限制。
• 當g > 1時，根據現在又稱法爾廷斯定理的莫德爾猜想，C只有有限多的有理點。

證明

伊戈爾·沙法列維奇（英語：Igor Shafarevich）曾猜想說在一個固定的數域上有著固定的維度與極化度（polarization degree）、且在固定的位構成的有限集合之外有著良好簡化（Good reduction）的交換簇（英語：Abelian variety）之上，只有有限個同構類，而這即是沙法列維奇的有限猜想。^[3]阿列克謝·帕辛（英語：Aleksei Parshin）使用現在稱為帕辛技巧的方法，指出說沙法列維奇的有限猜想可推出莫德爾猜想。^[4]

格爾德·法爾廷斯利用了泰特猜想（英語：Tate conjecture）一個情況已知的簡化，以及包括內倫模型（英語：Néron model）等源自代數幾何的工具，證明了沙法列維奇的有限猜想。^[5]而這證明的主要想法，是利用西葛爾模簇（英語：Abelian variety）來比較高度函數（英語：Height function）中的法爾廷斯高度及古典高度。^[a]

後來的證明

• 保羅·波伊大（英語：Paul Vojta）給出一個基於丟番圖逼近的證明；^[6]之後恩里科·邦別里找到了波伊大的證明中一個更加初等的版本。^[7]
• 布萊恩·勞倫斯（Brian Lawrence）及阿克沙伊·文卡泰什給出一個基於p進數霍奇定理（英語：P-adic Hodge theory）的證明，而這證明借鑿了法爾廷斯原始證明中一些較簡單的成分。^[8]

可得結果

法爾廷斯在1983年的論文可推出一系列先前受猜想的內容：

• 莫德爾猜想，也就是在代數數域上虧格數大於1的曲線只有有限多個有理點；
• 同類定理（Isogeny theorem），也就是帶有同構泰特模（英語：Tate module）（也就是帶有伽羅瓦作用的Q_ℓ－模）的交換簇（英語：Abelian variety）是同類（英語：Isogeny）的。

法爾廷斯定裡的一個應用是費馬最後定理的弱形式：對於任意大於等於4的固定整數n，aⁿ + bⁿ = cⁿ至多只有有限的原始整數解（也就是彼此互質的解），而這是因為對於這樣的n而言，費馬曲線 xⁿ + yⁿ = 1的虧格數大於1之故。

推廣

由於莫德爾－韋伊定理（英語：Mordell–Weil theorem）之故，因此法爾廷斯定理可重述為一個關於帶有交換簇A的有限生成子群Γ的曲線C的交點的敘述，因此可透過將其中交換簇A改成半交換簇（semiabelian variety）、將C改成A的任意子簇，以及將Γ改成A的任意有限秩子集的作法，將之推廣為莫德爾－朗猜想（英語：Mordell–Lang conjecture），而這猜想由麥克·麥奎蘭（英語：Michael McQuillan (mathematician)）^[9]在洛朗（Laurent）、雷諾、辛追（Hindry）、波伊大（英語：Paul Vojta）以及法爾廷斯等人成就的基礎上，於1995年所證明。

法爾廷斯定理的另一個高維推廣是邦別里－朗猜想（英語：Bombieri–Lang conjecture），也就是若X是一個在數域k上的偽典型簇（英語：pseudo-canonical variety）（也就是「一般類型」的代數簇），那麼X(k)在扎里斯基拓撲的意義上並非稠密的。保羅·波伊大（英語：Paul Vojta）並提出了更加一般化的猜想。

函數域上的莫德爾猜想由尤里·馬寧^[10]以及漢斯·格勞爾特（英語：Hans Grauert）^[11]所證明，在1990年，羅伯特·F·科爾曼找到並修補了馬寧證明中的一個漏洞。^[12]

註解

1. 「法爾廷斯藉由西葛爾模空間的方法比較了高度的兩種表記…這是證明的主要想法」（原文："Faltings relates the two notions of height by means of the Siegel moduli space.... It is the main idea of the proof."）Bloch, Spencer. The Proof of the Mordell Conjecture. The Mathematical Intelligencer. 1984, 6 (2): 44. S2CID 306251. doi:10.1007/BF03024155.