測圓海鏡

《測圓海鏡》是中國金代數學家李冶的代表作，於公元1248年寫成。全書一共十二卷，由一百七十個問題組成。書中對勾股容圓的問題進行了探討，系統地建立了「天元術」（列一元方程的方法）來解決幾何問題。《測圓海鏡》被認為是中國現存的第一部天元術著作。 天元術是對具體問題列出方程而後求解的方法。天元術於宋金時期開始發展，到元朝達到一個高峰。在《測圓海鏡》問世之前，中國雖有以天人代表未知數用以布列方程和多項式的工作，但早期著作已失，僅存被引用的一些片段。李冶在《測圓海鏡》中系統而概括地總結了天元術，用「天元」代替未知數，列出方程，然後求解。

知不足齋叢書《測圓海鏡》圓城圖式，其中用天地乾坤等指代三角形內各點

內容

《測圓海鏡》由卷一的圓城圖式、說明各個長度名稱的總率名號、給出各個長度數值的今問正數、囊括了各個量之間關係的公式總集識別雜記；卷二至卷十二，共一百七十個問題及其解答所組成。書中一共有148問，182種方法是以天元術列出方程以求解，其中列出一次方程31個，二次方程106個，三次方程24個，四次方程20個，六次方程1個^[1]

卷一

圓城圖式

圓城圖式（右圖）是全書的總括圖解，由一個直角三角形（古時稱為勾股形）、它的內切圓以及一些特定的點和直線組成。其中的頂點、圓心和交點都用某個漢字來指代。最大的三角形的三個頂點分別是天、地、乾，天地乾三角形的內切圓圓心稱為心。過心的垂直線從上至下分別和三角形、內切圓交於日、南、北三點。過心的水平線從左至右分別和三角形、內切圓交於川、東、西三點。過東的垂直線和過南的水平線都是內切圓的切線，它們分別交天地乾三角形於艮、坤、山、月四點，而相交於巽點。乾坤巽艮構成一個正方形。過月的垂直線交東西水平線於青點，交地乾邊於泉點。過山的水平線交南北垂直線於朱點，交天乾邊於金點。而這兩條線相交於泛點。最後過日的水平線交天乾邊於旦點，過川的垂直線交地乾邊於夕點。總共22個點。

總率名號

全書所研究的三角形一共有15個，全部是以天地線之間的線段為弦（斜邊）的直角三角形。總率名號給出了這些三角形和線段的名稱。它們分別是：

序號	三角形名稱	對應的三個頂點	弦0c	股0b	勾0a
1	通	天地乾	通弦（天地）	通股（天乾）	通勾（地乾）
2	邊	天西川	邊弦（天川）	邊股（天西）	邊勾（西川）
3	底	日地北	底弦（日地）	底股（日北）	底勾（地北）
4	黃廣	天山金	黃廣弦（天山）	黃廣股（天金）	黃廣勾（山金）
5	黃長	月地泉	黃長弦（月地）	黃長股（月泉）	黃長勾（地泉）
6	上高	天日旦	上高弦（天日）	上高股（天旦）	上高勾（日旦）
7	下高	日山朱	下高弦（日山）	下高股（日朱）	下高勾（山朱）
8	上平	月川青	上平弦（月川）	上平股（月青）	上平勾（川青）
9	下平	川地夕	下平弦（川地）	下平股（川夕）	下平勾（地夕）
10	大差	天月坤	大差弦（天月）	大差股（天坤）	大差勾（月坤）
11	小差	山地艮	小差弦（山地）	小差股（山艮）	小差勾（地艮）
12	皇極	日川心	皇極弦（日川）	皇極股（日心）	皇極勾（川心）
13	太虛	月山泛	太虛弦（月山）	太虛股（月泛）	太虛勾（山泛）
14	明	日月南	明弦（日月）	明股（日南）	明勾（月南）
15	叀	山川東	叀弦（山川）	叀股（山東）	叀勾（川東）

其中弦是三角形斜邊，股是三角形的長直角邊（這裡是豎直的），勾是三角形短直角邊（這裡是水平的）。（${\displaystyle a_{1}}$代表通勾，${\displaystyle b_{1}}$代表通股，${\displaystyle c_{1}}$代表通弦，余類推）。

今問正數

今問正數一節給出了圓城圖式中每個線段的長度。其中以內切圓的半徑為120步，作為標準。

• 弦
• 勾
• 股
• 勾股和：a + b
• 勾股校：b - a
• 勾弦和：a + c
• 勾弦校：c - a
• 股弦和：b + c
• 股弦校：c - b
• 弦校和：c + (b - a)
• 弦校校：c - (b - a)
• 弦和和：(a + b) + c
• 弦和校：(a + b) - c

例子:「通弦六百八十，勾三百二十，股六百；勾股和九百二十，較（兩者的差）二百八十；勾弦和一千，較三百六十；股弦和一千二百八十，較八十；弦較和九百六十，較四百；弦和和一千六百，較二百四十。」

15個勾股形中上高 = 下高；上平 = 下平，因此，15個勾股形中，只有13個勾股形是相異的。

《今問正數》共15個勾股形×13項=195項^[2]。 ，列表如下。

識別雜記

識別雜記都是關於不同線段之間的幾何關係式。一共給出了692個公式。是全書的綱領。

識別雜記包含八項：

• 諸雜名目：是全書的總綱，列出各項定義，例如虛勾虛股相得名為虛率，高股平勾差名為角差，又名遠差等等。諸雜名目中還列出三十餘項定理，如凡大差小差相乘為半段徑冪，大差勾小差股相乘同上、黃廣股黃長勾相乘為經冪等等。

名目

名目	定義
內率	${\displaystyle a_{14}*b_{15}}$
外率	${\displaystyle b_{14}*a_{15}}$
虛率	${\displaystyle a_{13}*b_{13}}$
角差	${\displaystyle b_{7}-a_{8}}$
次差	${\displaystyle (b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})}$
混同和	${\displaystyle b_{11}+a_{10}}$
傍差	${\displaystyle (b_{14}-a_{14})-(b_{15}-a_{15})}$
夎差	${\displaystyle (b_{14}-a_{14})-(b_{15}-a_{15})-(b_{13}-a_{13})}$
夎和	${\displaystyle (b_{14}-a_{14})-(b_{15}-a_{15})-(b_{13}+a_{13})}$

雜用公式

^[3]

1. ${\displaystyle (c_{1}-a_{1})*(c_{1}*b_{1})}$= ${\displaystyle 1 \over 2}$*${\displaystyle (d_{1})^{2}}$
2. ${\displaystyle a_{10}*b_{11}}$= ${\displaystyle 1 \over 2}$${\displaystyle (d_{1})^{2}}$
3. ${\displaystyle a_{13}*b_{1}}$= ${\displaystyle 1 \over 2}$${\displaystyle (d_{1})^{2}}$
4. ${\displaystyle a_{1}*b_{13}}$= ${\displaystyle 1 \over 2}$${\displaystyle (d_{1})^{2}}$
5. ${\displaystyle b_{2}*b_{15}}$= ${\displaystyle }$${\displaystyle (r_{1})^{2}}$
6. ${\displaystyle a_{14}*a_{3}}$= ${\displaystyle (r_{1})^{2}}$
7. ${\displaystyle a_{5}*b_{4}}$= ${\displaystyle (d_{1})^{2}}$
8. ${\displaystyle a_{8}*b_{6}}$= ${\displaystyle a_{9}*b_{7}}$${\displaystyle =(r_{1})^{2}}$
9. ${\displaystyle (b_{14}*c_{14})*(a_{15}+c_{15})}$= ${\displaystyle (r_{1})^{2}}$
10. ${\displaystyle c_{6}*c_{8}}$= ${\displaystyle c_{7}*c_{9})}$=${\displaystyle a_{13}*b_{13}}$
11. ${\displaystyle }$

五和五較

1. ${\displaystyle a_{2}+b_{2}+c_{2}=b_{1}+c_{1}}$^[4]
2. ${\displaystyle a_{3}+b_{3}+c_{3}=a_{1}+c_{1}}$
3. ${\displaystyle a_{4}+b_{4}+c_{4}=2b_{1}}$
4. ${\displaystyle a_{5}+b_{5}+c_{5}=2a_{1}}$
5. ${\displaystyle a_{6}+b_{6}+c_{6}=b_{1}}$
6. ${\displaystyle a_{7}+b_{7}+c_{7}=b_{1}}$
7. ${\displaystyle a_{8}+b_{8}+c_{8}=a_{1}}$
8. ${\displaystyle a_{9}+b_{9}+c_{9}=a_{1}}$
9. ${\displaystyle a_{10}+b_{10}+c_{10}=b_{1}+c_{1}-a_{1}}$
10. ${\displaystyle a_{11}+b_{11}+c_{11}=c_{1}-b_{1}+a_{1}}$
11. ${\displaystyle a_{12}+b_{12}+c_{12}=c_{1}}$
12. ${\displaystyle a_{13}+b_{13}+c_{13}=a_{1}+b_{1}-c_{1}}$
13. ${\displaystyle a_{14}+b_{14}+c_{14}=c_{1}-a_{1}}$
14. ${\displaystyle a_{15}+b_{15}+c_{15}=c_{1}-c_{1}}$

此外還有諸弦，大小差，諸差，諸率互見，四位拾遺，拾遺。

一共692關係式，這些關係式完全是幾何定理，與具體數值無關。

舉例：第三條中「勾股和即弦黃和」一句就是：三角形兩直角邊之和等於斜邊加上內切圓直徑（「黃」指內切圓直徑）。這個命題可以由直角三角形的勾股定理推出：

設直角三角形三邊分別為${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$，其中${\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}$

內接圓直徑${\displaystyle d={\frac {2ab}{a+b+c}}}$，因此

內接圓直徑 + 斜邊 = ${\displaystyle d+c={\frac {2ab}{a+b+c}}+c={\frac {2ab+c^{2}+ac+bc}{a+b+c}}}$

${\displaystyle ={\frac {2ab+a^{2}+b^{2}+ac+bc}{a+b+c}}={\frac {(a+b)(a+b+c)}{a+b+c}}}$

${\displaystyle =a+b}$ = 兩直角邊之和

後面出現的各問題，都根據這些公式中的相等關係而列出方程，然後求解。

李冶的692個公式中，有8個是錯誤的，只是因為數值吻合而被誤認為成立。

新設第一率

新設第二率

新設第三率

新設第四率

第二卷

正率14問

測圓海鏡卷二 正率

從第二卷開始，《測圓海鏡》中一共出現了一百七十個問題，它們都是圍繞著同一個題設背景而展開。 在第二卷開頭，李冶作出了以後題目公用的總假設：

假令圓城一所，不知周徑，四面開門，門外縱橫各有十字大道。其西北十字道頭定為乾地，其東北十字道頭定為艮地，其東南十字道頭定為巽地，其西南十字道頭定為坤地。所有測望雜法，一一設問如後。

這裡的圓城就是指天地乾三角形的內切圓，其方向按照圓城圖式裡面東南西北四個點的位置而定（注意北在下方，東在左邊，與現在通用的方位相反），所謂的「乾地」、「坤地」則是指圓城圖式裡面出現的乾點、坤點等等。以後的每個問題中要求的長度都是圓城的半徑或直徑。

接下來的問題都是已知某些線段的長度，問圓城的半徑或直徑。李冶在每一題的題目之後都先寫出解法（代數演算），再給出演草（代入數值的計算）。

洞淵九容

開頭十個問題，不需要天元方程。清代數學李善蘭認為，第一個問題和《九章算術》的勾股容圓題目一樣，第二問至第十問就是《自序》中提到的「洞淵九容」^[5]。但李冶原書或《四庫全書》李銳較本都沒有這九個問題的細草，李善蘭在《天算或問》一書中根據相似三角形原理求得各式，並以第二問為例闡明如下^[6]：

${\displaystyle {a_{1} \over a_{1}+b_{1}+c_{1}}={a_{2} \over a_{2}+b_{2}+c_{2}}}$

${\displaystyle {b_{1} \over b_{1}+c_{1}}={a_{2} \over b_{2}+c_{2}}}$

又因：

${\displaystyle b_{1}+c_{1}=a_{2}+b_{2}+c_{2}}$

所以

${\displaystyle {2b_{1}c_{1} \over a_{1}+b_{1}+c_{1}}={2b_{2}c_{2} \over b_{2}+c_{2}}}$

得

${\displaystyle {2a_{2}\times b_{2} \over a_{2}+b_{2}+c_{2}}=d}$

其餘類推。 。

第一問：或問：甲乙二人俱在乾地，乙東行三百二十步而立。甲南行六百步望見乙，問徑幾里？

答曰：城徑二百四十步。

勾股容圓${\displaystyle d={2a_{1}\times b_{1} \over a_{1}+b_{1}+c_{1}}}$

${\displaystyle ={2*320*600 \over 320+600+{\sqrt {(}}320^{2}+600^{2})}=240}$

第二問：勾上容圓

${\displaystyle {2a_{2}\times b_{2} \over a_{2}+b_{2}+c_{2}}=d}$

第三問：股上容圓

${\displaystyle {2a_{3}\times b_{3} \over a_{3}+b_{3}+c_{3}}=d}$

第四問：勾股上容圓

${\displaystyle {2a_{12}\times b_{12} \over c_{12}}=d}$

第五問：弦上容圓

${\displaystyle {2a\times b \over a+b}=d}$

第六問：勾外容圓

${\displaystyle {2a_{10}\times b_{10} \over b_{10}-a_{10}+c_{10}}=d}$

第七問：股外容圓

${\displaystyle {2a_{11}\times b_{11} \over b_{11}-a_{11}+c_{11}}=d}$

第八問：弦外容圓

${\displaystyle {2a_{13}\times b_{13} \over b_{13}+a_{13}-c_{13}}=d}$

第九問：勾外容圓半

${\displaystyle {2a_{14}\times b_{14} \over c_{14}-a_{14}}=d}$

第十問：股外容圓半

${\displaystyle {2a_{15}\times b_{15} \over c_{15}-b_{15}}=d}$

天元術

測圓海鏡細草 卷二 第十四問 草曰

從第十四題開始，引入天元術，將所求的未知量設為「天元」，然後根據識別雜記中給出的公式構造出兩個天元式，另其相等，然後解方程得出答案。《測圓海鏡》中天元式的次序，高次冪在常數項之上，和《益古演段》，《四元玉鑒》的相反。

第十四問

「或問出西門南行四百八十步有樹，出北門東行二百步見之。問答同前」。

法曰：以二行步相乘為實，二行步相併為從，一步常法，得半徑。

草曰：立天元一為半徑，置南行步在地，

內減天元半徑得股圓差：${\displaystyle 480-x}$

元

。

又置乙東行步在地，內減天元，得勾圓差：${\displaystyle 200-x}$

元

以勾圓差增乘股圓差得半段黃方冪：${\displaystyle x^{2}-680x+96000}$

元

又置天元冪以倍之，也為半段黃方冪；

元

因此，得${\displaystyle x^{2}-680x+96000=2x^{2}}$

相消得：${\displaystyle -x^{2}-680x+96000=0}$

元

解方程，得半徑${\displaystyle r=120}$。

第三卷

邊股17問 ^[7]

標題文字	已知	未知數x	方程
1	<${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle c_{4}}$		直接計算
2	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle a_{11}}$	d	${\displaystyle x^{2}+a_{11}x-2b_{2}a_{11}=0}$
3	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle b_{11}}$	r	${\displaystyle x^{2}+b_{2}x-b_{2}b_{11}=0}$
4	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle a_{15}}$	d	${\displaystyle x^{3}+a_{15}x^{2}-4a_{15}b_{2}^{2}=0}$
5	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle a_{14}}$	d	${\displaystyle x^{3}-(b_{2}-2a_{14})x^{2}+a_{14}^{2}*x+a_{14}^{2}*b_{2}=0}$
6	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle a_{10}}$	r	${\displaystyle x^{2}+(b_{2}-(b_{2}-c_{10}))x+b_{2}(b_{2}-c_{10})=0}$
7	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle c_{2}}$	r	${\displaystyle ((1/2)*c_{2}-(1/2)*b_{2}+b_{2})*x^{2}-(1/2)*(c_{2}-b_{2})b_{2}^{2}=0}$
8	${\displaystyle b_{2}}$， ${\displaystyle c_{1}}$	r	${\displaystyle 2x^{2}+((c_{1}+b_{2})+(c_{1}-b_{2}))x-((c_{1}+b_{2})(c_{1}-b_{2})-(c_{1}-b_{2})^{2}))=0}$
9	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle c_{6}}$	r	${\displaystyle 2x^{2}-2(b_{2}-2(b_{2}-c_{5}))b_{2}=0}$
10	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle b_{14}}$	r	${\displaystyle x^{2}-2b_{2}x+((b_{2}-b_{14})^{2}-b_{14}^{2}=0}$
11	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle a_{10}}$	r	${\displaystyle (2b_{2}-a_{10})x-b_{2}a_{10}=0}$
12	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle c_{15}}$	${\displaystyle b_{15}}$	${\displaystyle x^{2}+(b_{2}+c_{15})x-b_{2}c_{15}=0}$
13	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle c_{14}}$	${\displaystyle a_{14}}$	${\displaystyle x^{4}-2(b_{2}-c_{14})x^{3}+(b_{2}-c_{14})^{2}x^{2}+2b_{2}c_{14}^{2}x-(2(b_{2}-c_{14})-b_{2}))b_{2}c_{14}^{2}=0}$
14	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle c_{6}}$		${\displaystyle r={\sqrt {(}}(2c_{6}-b_{2})b_{2})}$
15	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle c_{8}}$	r	${\displaystyle -x^{3}-c_{8}x^{2}-b_{2}^{2}x+c_{8}b_{2}^{2}=0}$
16	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle b_{14}+c_{14}}$		用洞淵九容公式計算
17	${\displaystyle b_{2}}$，${\displaystyle a_{15}+c_{15}}$		用洞淵九容公式計算

第四卷

底勾17問：已知${\displaystyle a_{3}}$及另一邊求直徑d.^[8]

。

第三卷邊股問與第四卷同次第底勾問成對偶。

問	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17
第二邊	${\displaystyle c_{5}}$	${\displaystyle b_{10}}$	${\displaystyle a_{10}}$	${\displaystyle b_{14}}$	${\displaystyle b_{15}}$	${\displaystyle c_{11}}$	${\displaystyle c_{13}}$	${\displaystyle c_{1}}$	${\displaystyle c_{9}}$	${\displaystyle a_{15}}$	${\displaystyle b_{11}}$	${\displaystyle c_{14}}$	${\displaystyle c_{15}}$	${\displaystyle c_{9}}$	${\displaystyle c_{7}}$	${\displaystyle a_{15}+c_{15}}$	${\displaystyle b_{14}+c_{14}}$

第五卷

大股18問：已知${\displaystyle b_{1}}$。^[8]

問	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
第二邊	${\displaystyle b_{14}}$	${\displaystyle a_{14}}$	${\displaystyle a_{15}}$	${\displaystyle b_{15}}$	${\displaystyle b_{11}}$	${\displaystyle a_{11}}$	${\displaystyle c_{10}}$	${\displaystyle c_{4}}$	${\displaystyle c_{2}}$	${\displaystyle c_{1}}$	${\displaystyle c_{6}}$	${\displaystyle c_{9}-a_{11}}$	${\displaystyle c_{15}}$	${\displaystyle c_{14}}$	${\displaystyle c_{9}}$	${\displaystyle c_{12}}$	${\displaystyle a_{15}+b_{14}}$	${\displaystyle c_{13}}$

第六卷

大勾18問：

1-11，13-19已知a_{1}，及另一邊求直徑d.^[8]

12問：已知 ${\displaystyle a_{1}+c_{3}}$及另邊，求直徑。

問	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18
已知	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}+c_{3}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$	${\displaystyle a_{1}}$
第二邊	${\displaystyle a_{15}}$	${\displaystyle b_{15}}$	${\displaystyle b_{14}}$	${\displaystyle a_{14}}$	${\displaystyle a_{10}}$	${\displaystyle b_{10}}$	${\displaystyle c_{11}}$	${\displaystyle c_{5}}$	${\displaystyle c_{3}}$	${\displaystyle c_{1}}$	${\displaystyle c_{9}}$	${\displaystyle b_{10}-c_{6}}$	${\displaystyle c_{14}}$	${\displaystyle c_{15}}$	${\displaystyle c_{6}}$	${\displaystyle c_{12}}$	${\displaystyle a_{15}+b_{14}}$	${\displaystyle a_{13}}$

第七卷

明叀前18問；求直徑d。^[9]

問	已知
1	${\displaystyle a_{14}}$，${\displaystyle b_{15}}$
2	${\displaystyle a_{15}}$，${\displaystyle b_{14}}$
3	${\displaystyle a_{14}}$，${\displaystyle a_{15}}$
4	${\displaystyle b_{14}}$，${\displaystyle b_{15}}$
5	${\displaystyle a_{14}}$，${\displaystyle c_{8}}$
6	${\displaystyle b_{15}}$，${\displaystyle c_{7}}$
7	${\displaystyle b_{15}}$，${\displaystyle c_{13}}$
8	${\displaystyle a_{14}}$，${\displaystyle c_{13}}$
9	${\displaystyle d-a_{14}}$，${\displaystyle d-b_{15}}$
10	${\displaystyle d-b_{14}}$，${\displaystyle d-a_{15}}$
11	${\displaystyle c_{12}}$，${\displaystyle a_{15}+b_{14}}$
12	${\displaystyle a_{15}+b_{14}}$，${\displaystyle c_{13}}$
13	${\displaystyle b_{15}+c_{13}}$，${\displaystyle c_{13}-b_{15}}$
14	${\displaystyle a_{14}+b_{15}+c_{13}}$，${\displaystyle a_{14}+b_{15}+c_{13}-a_{14}}$，
15	${\displaystyle c_{14}}$，${\displaystyle d-b_{15}}$
16	${\displaystyle c_{5}}$，${\displaystyle d-a_{14}}$
17	${\displaystyle a_{1}-a_{14}}$，${\displaystyle b_{1}-b_{15}}$
18	${\displaystyle a_{1}+a_{14}}$，${\displaystyle b_{1}-b_{15}}$

第八卷

邊股17問：已知 三至八邊，或其差，和，求直徑d.^[10]

問	已知
1	${\displaystyle a_{14}+b_{14}}$，${\displaystyle a_{15}+b_{15}}$，${\displaystyle c_{12}}$
2	${\displaystyle a_{14}+b_{14}}$，${\displaystyle a_{15}+b_{15}}$，${\displaystyle c_{13}}$
3	${\displaystyle (c_{12}-a_{12})+(c_{12}-b_{12})}$，${\displaystyle d_{14}+d_{15}}$
4	${\displaystyle c_{15}}$，${\displaystyle c_{14}}$
5	${\displaystyle b_{14}+c_{14}}$，${\displaystyle c_{15}+b_{15}}$
6	${\displaystyle a_{15}+c_{15}}$，${\displaystyle a_{14}+c_{14}}$
7	${\displaystyle a_{1}+c_{1}}$，${\displaystyle a_{15}+c_{15}}$${\displaystyle }$
8	${\displaystyle a_{1}+c_{1}}$，${\displaystyle a_{14}+c_{14}}$${\displaystyle }$
9	${\displaystyle b_{1}+c_{1}}$，${\displaystyle b_{15}+c_{15}}$${\displaystyle }$
10	${\displaystyle b_{1}+c_{1}}$，${\displaystyle b_{14}+c_{14}}$，${\displaystyle }$
11	${\displaystyle b_{14}+c_{14}}$，${\displaystyle a_{15}+c_{15}}$，${\displaystyle b_{14}+a_{15}-c_{13}}$
12	${\displaystyle (b_{8}-a_{8})+(b_{2}-a_{2})}$，${\displaystyle b_{14}+a_{15}-c_{13}}$${\displaystyle }$
13	${\displaystyle b_{7}-a_{8}}$，${\displaystyle (b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})}$，${\displaystyle c_{12}-d}$
14	${\displaystyle (b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})}$，${\displaystyle (b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})}$${\displaystyle }$
15	${\displaystyle a_{14}+b_{14}}$，${\displaystyle a_{15}+b_{15}}$${\displaystyle }$
16	${\displaystyle a_{14}+a_{15}}$，${\displaystyle b_{14}+b_{15}}$${\displaystyle }$

第十四問

或問：高差，平差並一百六十一步，明差叀差並七十七步，問答同前。

即：

草曰：^[11]

已知

${\displaystyle (b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=161}$

${\displaystyle (b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15})=77}$

相加除2 ; 根據#雜用公式，等於皇極差：

${\displaystyle (b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})+(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15}) \over 2}$ ${\displaystyle =(b_{12}-a_{12})}$

${\displaystyle b_{12}-a_{12}=}$${\displaystyle 161+77 \over 2}$${\displaystyle =119}$

設天元一為上平勾：

${\displaystyle x=a_{8}}$

${\displaystyle x+161}$ =${\displaystyle x+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=a_{8}+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})}$

${\displaystyle =b_{7}}$ (雜用公式)

因為 ${\displaystyle a_{8}+b_{7}=c_{12}}$ (雜用公式)

${\displaystyle c_{12}=x+b_{7}=2*x+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})=2*x+161}$

${\displaystyle c_{12}^{2}=(x+b_{7})^{2}=(2*x+161)^{2}=4*x^{2}+644*x+25921}$

${\displaystyle c_{12}^{2}-(b_{12}-a_{12})^{2}}$

${\displaystyle =4*x^{2}+644*x+25921-}$${\displaystyle ((b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8})+(b_{14}-a_{14})+(b_{15}-a_{15}))^{2} \over 4}$

${\displaystyle =4*x^{2}+644*x+11760=d}$(圓城直徑),

${\displaystyle d^{2}=(4*x^{2}+644*x+11760)^{2}=16*x^{4}+5152*x^{3}+508816*x^{2}[phone]*x+138297600}$

將 ${\displaystyle 4*x}$乘下高股

${\displaystyle 4*x*b_{7}=4*x*(x+(b_{7}-a_{7})+(b_{8}-a_{8}))=4*x*(x+161)=4*x^{2}+644*x}$

乘之以皇極弦冪:

${\displaystyle d^{2}=4*x*b_{7}*c_{12}^{2}=}$${\displaystyle (4*x^{2}+644*x)*(4*x^{2}+644*x+25921)=}$${\displaystyle 16*x^{4}+5152*x^{3}+518420*x^{2}[phone]}$

因此

${\displaystyle 16*x^{4}+5152*x^{3}+518420*x^{2}[phone]=}$${\displaystyle 16*x^{4}+5152*x^{3}+508816*x^{2}[phone]*x+138297600}$

左右相消得：

${\displaystyle 9604*x^{2}+1546244*x-138297600=0}$

解之得 ${\displaystyle x=a_{8}=64}$;

正合#今問正數中的下平勾。

第九卷上

：大斜四問^[12]

問	已知
1	${\displaystyle a_{12}+b_{12}+c_{12}}$，${\displaystyle b_{12}-a_{12}}$
2	${\displaystyle c_{1}}$，${\displaystyle b_{1}-a_{1}}$
3	${\displaystyle c_{1}}$，${\displaystyle a_{10}+b_{11}}$
4	${\displaystyle c_{1}}$，${\displaystyle a_{2}+b_{3}}$

第九卷下

：大和8問

邊股17問：已知三邊，求直徑d^[13]。

問	已知條件
1	${\displaystyle a_{1}+b_{1}}$，${\displaystyle a_{2}}$，${\displaystyle b_{3}}$
2	${\displaystyle a_{1}+b_{1}}$，${\displaystyle c_{13}+b_{13}-a_{13}}$，${\displaystyle c_{13}-b_{13}+a_{13}}$
3	${\displaystyle a_{1}+b_{1}}$，${\displaystyle a_{11}+b_{11}}$，${\displaystyle a_{10}+b_{10}}$
4	${\displaystyle a_{1}+b_{1}}$，${\displaystyle c_{10}-a_{10}}$，${\displaystyle c_{11}-b_{11}}$
5	${\displaystyle a_{1}+b_{1}}$，${\displaystyle c_{6}+c_{8}}$，${\displaystyle c_{6}-c_{8}}$
6	${\displaystyle a_{1}+b_{1}}$，${\displaystyle c_{10}}$，${\displaystyle c_{11}}$
7	${\displaystyle a_{1}+b_{1}}$，${\displaystyle c_{4}}$，${\displaystyle c_{5}}$
8	${\displaystyle a_{1}+b_{1}}$，${\displaystyle c_{2}}$，${\displaystyle c_{3}}$

第十卷

：三事和8問^[14]

問	已知
1	${\displaystyle a_{1}+b_{1}+c_{1}}$，${\displaystyle c_{1}-b_{1}}$
2	${\displaystyle a_{1}+b_{1}+c_{1}}$，${\displaystyle c_{1}-a_{1}}$
3	${\displaystyle a_{1}+b_{1}+c_{1}}$，${\displaystyle b_{1}-a_{1}}$
4	${\displaystyle a_{1}+b_{1}+c_{1}}$，${\displaystyle (c_{1}-b_{1})+(c_{1}-a_{1})}$
5	${\displaystyle a_{1}+b_{1}+c_{1}}$，${\displaystyle (c_{1}-b_{1})+(b_{1}-a_{1})+(c_{1}-a_{1})}$
6	${\displaystyle a_{1}+b_{1}+c_{1}}$，${\displaystyle d_{14}+d_{15}}$
7	${\displaystyle a_{1}+b_{1}+c_{1}}$，${\displaystyle c_{12}}$
8	${\displaystyle a_{1}+b_{1}+c_{1}}$，${\displaystyle c_{13}}$

第十一卷

雜糅18問：^[15]

第十七問，十八問取自《洞淵算書》。

問	已知
1	${\displaystyle c_{2}}$，${\displaystyle c_{3}}$${\displaystyle }$
2	${\displaystyle c_{5}}$，${\displaystyle c_{4}}$${\displaystyle }$
3	${\displaystyle b_{11}}$，${\displaystyle c_{4}}$${\displaystyle }$
4	${\displaystyle a_{10}}$，${\displaystyle c_{3}}$${\displaystyle }$
5	${\displaystyle a_{10}}$，${\displaystyle b_{11}}$${\displaystyle }$
6	${\displaystyle b_{7}}$，${\displaystyle a_{8}}$${\displaystyle }$
7	${\displaystyle b_{1}-b_{11}}$，${\displaystyle a_{1}-a_{10}}$
8	${\displaystyle b_{10}-a_{10}}$，${\displaystyle b_{11}-a{11}}$${\displaystyle }$
9	${\displaystyle c_{13}}$，${\displaystyle a_{10}-b_{11}}$${\displaystyle }$
10	${\displaystyle a_{12}+b_{12}}$，${\displaystyle a_{13}+b_{13}}$${\displaystyle }$
11	${\displaystyle c_{1}}$，${\displaystyle b_{1} \over a_{1}}$${\displaystyle }$
12	${\displaystyle d_{10}-d_{11}}$，${\displaystyle d_{12}-d_{13}}$${\displaystyle }$
13	${\displaystyle c_{12}-[c_{10}-(b_{10}-a_{10})]}$，${\displaystyle c_{11}+(b_{11}-a_{11})-c_{13}}$，${\displaystyle b_{12}-a_{12}}$
14	${\displaystyle c_{8}-(c_{1}-b_{1})}$，${\displaystyle (c_{1}-a_{1})-c_{7}}$${\displaystyle }$
15	${\displaystyle a_{1}+c_{1}}$，${\displaystyle (c_{1}-a_{1})+(c_{1}-b_{1})}$${\displaystyle }$
16	${\displaystyle a_{12}+b_{12}+c_{12}}$，${\displaystyle (a_{13}+b_{13})-c_{13}}$${\displaystyle }$
17	(取自《洞淵算書》）
18	取自《洞淵算書》

第十二卷

之分14問^[16]

問	已知
1	${\displaystyle b_{1}+c_{1}}$，${\displaystyle a_{1}}$= ${\displaystyle 8 \over 15}$${\displaystyle b_{1}}$
2	${\displaystyle a_{1}+c_{1}}$，${\displaystyle a_{1}}$= ${\displaystyle 8 \over 15}$${\displaystyle b_{1}}$
3	${\displaystyle a_{1}=(1-5/9)*3d}$，${\displaystyle b_{1}-a_{1}}$${\displaystyle }$
4	${\displaystyle a_{3}=(5/6)*d}$，${\displaystyle b_{2}-a_{3}}$
5	${\displaystyle (15/16)b_{1}=d}$，${\displaystyle a_{1}+b_{1}}$${\displaystyle }$
6	${\displaystyle a_{12}=(8/15)*b_{12}}$，${\displaystyle c_{12}-b_{12}}$，${\displaystyle c_{12}-a_{12}}$
7	${\displaystyle c_{1}}$，${\displaystyle d=(1/2)b_{2}}$，${\displaystyle a_{3}=(5/6)d}$
8	${\displaystyle b_{2}+a_{3}+c_{2}}$，${\displaystyle b_{2}=(12/17)c_{1}}$，${\displaystyle a_{3}=(5/17)c_{1}}$
9	${\displaystyle a_{3}+(5/6)b_{2}}$，${\displaystyle b_{2}+(3/5)a_{3}}$${\displaystyle }$
10	${\displaystyle a_{11}+(1/3)b_{10}}$，${\displaystyle b_{10}-(3/4)a_{11}}$${\displaystyle }$
11	${\displaystyle b_{1}-d=(3/5)b_{1}}$，${\displaystyle a_{1}-d=(1/4)a_{1}}$，${\displaystyle (b_{1}-d)-(a_{1}-d)}$
12	${\displaystyle b_{1}-d=(3/5)b_{1}}$，${\displaystyle a_{1}-d=(1/4)a_{1}}$，${\displaystyle (1/5)b_{1}-(1/4)a_{1}}$
13	${\displaystyle b_{14}=(1-(15/24)b_{10})}$，${\displaystyle a_{15}=(1-(4/5))a_{11}}$，${\displaystyle b_{14}-a_{15}}$,${\displaystyle b_{10}-a_{11}}$
14	${\displaystyle a_{1}+b_{1}+c_{1}}$，${\displaystyle (b_{1}/a_{1})=8(1/3)}$，${\displaystyle (a_{1}/b_{15})=10(2/3)}$，${\displaystyle a_{14}-a_{13}}$，${\displaystyle b_{13}-b_{15}}$

版本

天元術並非李冶的獨創，而是從金代起便在中國北方開始萌芽。據祖頤在《四元玉鑒後序》中的記載，李冶以前研究天元術的學者有北宋蔣周撰《益古集》、李文一撰《照膽》，石信道撰《鈐經》、劉汝諧撰《如積釋鎖》等書，世人才知道有天元。此外朱世傑《四元玉鑒》引用北宋《洞淵九容細草》兩道題，其中有「立天元一」^[17]。後來李德載撰《兩儀群英集臻》兼有地元。1306年元刻本《陰陽備用三元節要》三卷下有天元，地元^[18]。但是這些早期天元術的著作已經失傳。宋代《楊輝算法》保留蔣周《益古集》的一些條段法的題目，沒保留天元術的內容。現存元刻本《陰陽備用三元節要》只有一條二元術題，《測圓海鏡》是現存最早的系統地講述天元術的著作。

到了明代，天元術因為艱深難懂而少人研究，幾近失傳。明代唐順抄錄過《測圓海鏡》，但不懂天元術；顧應祥曾經撰寫《測圓海鏡分類釋術》，但完全沒有明白天元術中天元為未知數的含義，因而將《測圓海鏡》中關於立天元列方程的演算全部刪去，只留下用開方術解方程的過程，以便後人學習^[19]。李儼認為宋金元發展起來的天元術至此已被遺忘^[20]。《測圓海鏡分類釋術》一書，雖然刪除了天元術內容，但保存了全部算題，也補入正確的幾何學解法，使得幾近失傳的《測圓海鏡》，得以從新流傳^[21]。

十八世紀時，隨著西洋算學傳入中國，李冶等人的天元術著作才被後來的數學家重新發現。戴東原從《永樂大典》中輯錄出李冶《測圓海鏡》^[22]；清朝梅瑴成（梅文鼎之孫）曾經研讀元學士李冶的《測圓海鏡》，對其中的天元之術感到不解，後來在研習西方的「借根方」法時發現所謂的「借根」就是「立天元」（都是設未知數），方才重新開始認識天元術^[23][24]。之後，《四元玉鑒》等其它天元術著作也被重新認識。孔廣森曾校對《測圓海鏡》中的四章。乾隆三十八年（1773年），《四庫全書》收錄了李潢家藏本的《測圓海鏡》。1798年，清代大藏書家鮑廷博刊印的《知不足齋叢書》中收錄了李銳校勘的《測圓海鏡細草》十二卷^[25]。之後又有焦循和李銳在研究了《測圓海鏡》、《益古演段》和《數書九章》後寫的《天元一釋》和《開方通釋》兩書，用較為明白的語言詳細解釋了李冶的天元術和秦九韶的正負開方術。1873年，張楚鍾發表《測圓海鏡通釋》對《識別雜記》中的幾百條定理，用幾何方法逐條證明。

清代研究

1896年劉岳雲出版《測圓海鏡解》，發現《圓城圖式》中各線段的簡單加減關係，發表《諸率加減表》，此後李善蘭出版《測圓海鏡解》等^[26]。他在另一篇著作《天算或問》中給出勾股容圓各公式的統一公式。其後陳維祺發表《各率及較泛積表》將《識別雜記》用「泛積」概念統一表示^[27]。王季同在《九容公式》中進一步發展了陳維祺的成果，發現^[28]

極勾=(高股 * 平勾 +平勾^2)^(1/2)

極股=(高股 * 平勾 +高股^2)^(1/2)

半徑=(高股 * 平勾 )^(1/2)

國際研究

19世紀初，朝鮮數學家南秉哲著《海鏡細草解》。

1913年，法國學者L.van Hoe 介紹《測圓海鏡》。1982年，法國林力娜（K. Chemla)作論文 Etude du Livre Reflects des Mesuers du Cercle sur la mer de Li Ye，獲得博士學位。1983年，新加坡大學教授藍麗蓉發表 Chinese Polynomial Equations in the Thirteenth Century,論述《測圓海鏡》。

評價

清代數學家對《測圓海鏡》給予很高評價。阮元認為《測圓海鏡》是「中土數學之寶書」，李善蘭稱讚它是「中華算書，無有勝於此者」。白尚恕說，《測圓海鏡》的成就，超過同時期的印度，阿拉伯和歐洲，「處於世界數學裡遙遙領先的地位」^[29]

參考文獻