測度收斂

測度收斂是測度論中的一個概念： 假設可測空間上有一個有趣卻很難直接構造的測度μ，我們希望能找到一列相對容易構造或分析的測度 ${\displaystyle \mu _{n}}$ ，隨著 ${\displaystyle n}$ 的增大， ${\displaystyle \mu _{n}}$ 的性質與 ${\displaystyle \mu }$ 越來越相似。 '越來越相似' 和一般的 序列的極限的想法一致：對於任何可接受的誤差 ${\displaystyle \varepsilon >0}$ ，只要 ${\displaystyle N}$ 充分大， 對於任何 ${\displaystyle n\geqslant N}$ ， ${\displaystyle \mu _{n}}$ 和 ${\displaystyle \mu }$ 之間的'差別'小於 ${\displaystyle \varepsilon }$ 。 收斂的定義也就取決於'差別'的定義。 這些定義可能互相不等價，強弱有別。

下面介紹3種最常見的測度收斂的定義。

測度的總變差收斂

測度的強收斂

測度的弱收斂

在數學和統計學中, 弱收斂 (即為泛函分析中的 弱*收斂)是 測度論中廣泛應用的一種收斂。 下面是幾種測度弱收斂的等價定義。 這些等價定義被稱為 portmanteau定理.^[1]

定義 ${\displaystyle S}$ 為擁有 Borel σ-代數 ${\displaystyle \Sigma }$的 度量空間 。我們稱一列(S, Σ)上的 概率測度 ${\displaystyle P_{n}}$ , ${\displaystyle n=1,2,...}$ 弱收斂於概率測度 ${\displaystyle P}$ ,（記為

${\displaystyle P_{n}\Rightarrow P}$）

如果下面任何一條條件得到滿足 ( ${\displaystyle E_{n}}$ 為關於概率 ${\displaystyle \mu }$ 的數學期望，${\displaystyle E}$ 為關於概率 ${\displaystyle P}$ 的數學期望):

• ${\displaystyle E_{n}f\rightarrow Ef}$ 對於任何有界連續的函數 ${\displaystyle f}$,
• ${\displaystyle E_{n}f\rightarrow Ef}$ 對於任何有界且滿足 Lipschitz條件的函數 ${\displaystyle f}$ ,
• ${\displaystyle \limsup E_{n}f\geqslant Ef}$ 對於任何有上界的 上半連續 的函數 ${\displaystyle f}$ ,
• ${\displaystyle \liminf E_{n}f\geqslant Ef}$ 對於任何有下界的 下半連續 的函數 ${\displaystyle f}$ ,
• ${\displaystyle \limsup P_{n}(C)\geqslant P(C)}$ 對於任何空間S中的閉集 ${\displaystyle C}$ ;
• ${\displaystyle \liminf P_{n}(U)\geqslant P(U)}$ 對於任何空間S中的開集 ${\displaystyle U}$ ;
• ${\displaystyle \lim P_{n}(A)\geqslant P(A)}$ 對於任何關於概率P連續的集合${\displaystyle A}$ .