測量員公式

測量員公式（英語：Surveyor's formula），又稱為鞋帶公式（英語：Shoelace formula）、測量師公式^[1]、高斯面積公式（英語：Gauss's area formula^[2][3]），是用來計算笛卡兒平面上的任意多邊形面積的一個公式。內容如下：給定座標平面上${\displaystyle n}$個點的座標（依逆時針順序）${\displaystyle A_{1}(x_{1},y_{1}),A_{2}(x_{2},y_{2}),A_{3}(x_{3},y_{3}),\dots ,A_{n}(x_{n},y_{n})}$，此${\displaystyle n}$個點所圍成的${\displaystyle n}$邊形之面積${\displaystyle S={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}&x_{3}&{...}&x_{n}\\y_{1}&y_{2}&y_{3}&{...}&y_{n}\end{vmatrix}}={\frac {1}{2}}\left({\begin{vmatrix}x_{1}&x_{2}\\y_{1}&{y_{2}}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}x_{2}&x_{3}\\y_{2}&{y_{3}}\end{vmatrix}}+...+{\begin{vmatrix}x_{n-1}&x_{n}\\y_{n-1}&{y_{n}}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}x_{n}&x_{1}\\y_{n}&{y_{1}}\end{vmatrix}}\right)}$。

使用範例

如右圖，${\displaystyle ABCDE}$為一個五邊形。其座標（已依照逆時針順序排序）分別為${\displaystyle A(5{,}0){,}B(7,10){,}C(-2,15){,}D(-10,2){,}E(-5{,}-6)}$。則由測量員公式可知，此五邊形之面積為$${\displaystyle S_{ABCDE}={\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}5&7&-2&-10&-5&5\\0&10&15&2&-6&0\end{vmatrix}}}$$${\displaystyle ={\frac {1}{2}}[5\times 10-0+7\times 15-(-2)\times 10+(-2)\times 2-(-10)\times 15+(-10)\times (-6)-(-5)\times 2-5\times (-6)]}$

${\displaystyle =210.5}$

座標平面上的五個點所圍成的五邊形。