一個簡潔的證明是利用數學分析中的羅爾定理。設有n 個實數:
。構造以
為根的多項式:

這個多項式可以寫成:

首先證明:存在另一組n-1 個實數:
,使得它們的基本對稱均值
恰好就是原來n 個實數的基本對稱均值中的前n-1 個:
。
具體的方法是考察多項式P的導數多項式
。根據羅爾定理,如果兩個實數
和
不相同,那麼他們之間必然存在一個數
使得
。而如果
是多項式P的一個j 次重根的話,那麼它也是
的k-1 次重根。所以,
一定有n-1 個實根。設這些實根等於
,那麼:

而同時:

對比兩邊係數,就可以得到:

然而組合數中:

所以等式變成:

這樣便找到了n-1 個實數來「代替」原來的n 個實數,使得基本對稱均值的前n-1 個都不變。這樣子,對於任意的
,經過若干次轉換後,可以轉化成k+1 個實數,使得基本對稱均值
變成最「靠邊」的那一項。實際上,以上的轉換說明:只需要證明

這一項就行了。
下面證明這一點。首先,如果
中有一個是0,那麼不等式左邊的
,所以左邊等於0,顯然小於右邊。而如果
中沒有一個是0的話,那麼由於這個不等式是齊次不等式,所以可以假設
。這樣的話,不等式就變成:

也就是




最後的不等式是均方不等式,必然成立。於是不等式得證。