牛頓-歐拉方程式

經典力學裡的牛頓-歐拉方程式是描述剛體的移動動力學以及旋轉動力學^{[1][2][3][4][5]}。

傳統上牛頓-歐拉方程式會和兩個有關剛體的歐拉運動定律一起出現，以矩陣和行向量的形式，表示為有六個元素的單一方程。這些定律和剛體質心的運動，以及作用在剛體上力和力矩有關。

質心框架

考慮一坐標框架，其原點和物體的質心重合，而力矩作用在質心上，此座標也是慣性參考系，力和力矩和其物體運動的關係如下：

${\displaystyle \left({\begin{matrix}{\mathbf {F} }\\{\boldsymbol {\tau }}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}m{\mathbf {I} _{3}}&0\\0&{\mathbf {I} }_{\rm {cm}}\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\mathbf {a} _{\rm {cm}}\\{\boldsymbol {\alpha }}\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}0\\{\boldsymbol {\omega }}\times {\mathbf {I} }_{\rm {cm}}\,{\boldsymbol {\omega }}\end{matrix}}\right),}$

其中

F是作用在質心的力

m是物體質量

I₃是3×3單位矩陣

a_cm是質心的加速度

v_cm是質心的速度

τ是作用在質心的轉矩

I_cm是相對質心的轉動慣量

ω是物體的角速度

α是物體的角加速度

任意參考座標

考慮以固定在物體上的P點為原點的座標系，且P不和質心重合，其形式會比較複雜：

${\displaystyle \left({\begin{matrix}{\mathbf {F} }\\{\boldsymbol {\tau }}_{\rm {p}}\end{matrix}}\right)=\left({\begin{matrix}m{\mathbf {I} _{3}}&-m[{\mathbf {c} }]^{\times }\\m[{\mathbf {c} }]^{\times }&{\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times }\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}\mathbf {a} _{\rm {p}}\\{\boldsymbol {\alpha }}\end{matrix}}\right)+\left({\begin{matrix}m[{\boldsymbol {\omega }}]^{\times }[{\boldsymbol {\omega }}]^{\times }{\mathbf {c} }\\{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }({\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times })\,{\boldsymbol {\omega }}\end{matrix}}\right),}$

其中c是從P到質心的向量，以隨體系（body-fixed frame）表示 而

${\displaystyle [\mathbf {c} ]^{\times }\equiv \left({\begin{matrix}0&-c_{z}&c_{y}\\c_{z}&0&-c_{x}\\-c_{y}&c_{x}&0\end{matrix}}\right)\qquad \qquad [\mathbf {\boldsymbol {\omega }} ]^{\times }\equiv \left({\begin{matrix}0&-\omega _{z}&\omega _{y}\\\omega _{z}&0&-\omega _{x}\\-\omega _{y}&\omega _{x}&0\end{matrix}}\right)}$

是反對稱的叉積矩陣。

等式的左邊包括外力的和，以及相對P點外部力矩的和，可以組成旋量理論中的Wrench（英語：Wrench (screw theory)）。

慣性項包括在「空間慣性」矩陣中

${\displaystyle \left({\begin{matrix}m{\mathbf {I} _{3}}&-m[{\mathbf {c} }]^{\times }\\m[{\mathbf {c} }]^{\times }&{\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times }\end{matrix}}\right),}$

其慣性力包括在以下項裡^[6]：

${\displaystyle \left({\begin{matrix}m{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }{\mathbf {c} }\\{[{\boldsymbol {\omega }}]}^{\times }({\mathbf {I} }_{\rm {cm}}-m[{\mathbf {c} }]^{\times }[{\mathbf {c} }]^{\times })\,{\boldsymbol {\omega }}\end{matrix}}\right).}$

若質心和座標系的原點不重合時，平移加速度和角加速度（a和α）會耦合，每一個都會有力和力矩的成份。

應用

牛頓-歐拉方程式是更複雜多體公式（screw theory）的基礎，描述用接頭和其他限制條件所組合剛體系統的動力學。多體問題可以用多種數值演算法求解^[2][6][7]。

相關條目

• 剛體的歐拉運動定律
• 歐拉角
• 逆動力學（英語：Inverse dynamics）
• 離心力