特勒根定理

特勒根定理（英語：Tellegen's theorem），於1952年由伯納德·特勒根（英語：Bernard D. H. Tellegen）提出，是電路網路分析理論中最重要的理論之一。由特勒根定理可以推出電路網路理論中大多數能量分布定理和極值定理。特勒根定理給出了遵守基爾霍夫電路定律的電路之間的一個簡單關係。

特勒根定理適用於許多電路網路，只要該網路滿足總電流守恆（基爾霍夫電流定律（KCL））且所有閉合迴路電壓代數和為零（基爾霍夫電壓定律（KVL））。特勒根定理在分析電路和與電路相類似的複雜網路（如神經系統、代謝網路、管道網路與化工過程網路）中是一種常用的工具。

定律

現討論以圖${\displaystyle G}$描述的一個有${\displaystyle b}$條邊和${\displaystyle n_{t}}$個節點的網絡。對於一個電路網絡，邊表示二端元器件，節點處為元件間的電氣連接。對圖中所有邊設其兩端電勢差為${\displaystyle U_{k}}$，支路電流為${\displaystyle I_{k}}$（${\displaystyle k=1,2,\dots ,b}$）且均取關聯參考方向。若所有的迴路電壓均滿足KVL且節點電流都滿足KCL，則有：

${\displaystyle \sum _{k=1}^{b}U_{k}I_{k}=0.}$

特勒根定理的應用十分廣泛，適用於許多電路，無論其是否包含非線性元件、是否是穩恆電路。而且對電流電壓做線性變換不影響特勒根定理的成立，因為KCL與KVL不受線性變換影響。例如對電流電壓取平均時或拉普拉斯變換下特勒根定理仍然成立。特勒根定理的另一個常用推廣是對拓撲結構相同（關聯矩陣相同）的兩個不同網絡的支路電壓和電流的積之和仍為零。即：

${\displaystyle \sum _{k=1}^{b}U_{k1}I_{k2}=0.}$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{b}U_{k2}I_{k1}=0.}$

式中${\displaystyle U_{k1}}$、${\displaystyle I_{k1}}$是第一個網絡的電流電壓，${\displaystyle U_{k2}}$、${\displaystyle I_{k2}}$是第二個網絡的電流電壓。特勒根原理的這一推廣可導出二埠網絡的許多性質。^[1]

定義

為證明這一定理，我們給出一些名詞的定義：

關聯矩陣： 關聯矩陣${\displaystyle \mathbf {A_{a}} }$是描述圖的獨立節點和支路的關聯情況的${\displaystyle n_{t}\times n_{f}}$矩陣，其元素${\displaystyle a_{ij}}$滿足：

${\displaystyle a_{ij}={\begin{cases}1,&{\text{如果支路}}j{\text{与节点}}i{\text{相关联，且支路方向背离节点}}\\-1,&{\text{如果支路}}j{\text{与节点}}i{\text{相关联，且支路方向指向节点}}\\0,&{\text{如果支路}}j{\text{与节点}}i{\text{无关联}}\end{cases}}}$

我們再引入參考節點${\displaystyle P_{0}}$。由圖論易知，關聯矩陣的各行並非相互獨立的，其和為零。故除去描述${\displaystyle P_{0}}$的那一行後得到的${\displaystyle (n_{t}-1)\times n_{f}}$矩陣${\displaystyle \mathbf {A} }$仍能描述圖的拓撲性質。這一矩陣被稱為降階關聯矩陣。一般如不特殊說明，關聯矩陣即指降階關聯矩陣。

基爾霍夫定律的矩陣表示:

• 基爾霍夫電流定律：

${\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {I} =\mathbf {0} }$

• 基爾霍夫電壓定律：

${\displaystyle \mathbf {U} =\mathbf {A^{T}} \mathbf {u} }$

${\displaystyle u_{k}}$表示各節點相對${\displaystyle P_{0}}$的電勢差.

證明

由KVL有：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U^{T}} \mathbf {I} =\mathbf {(A^{T}u)^{T}} \mathbf {I} =\mathbf {(u^{T}A)} \mathbf {I} =\mathbf {u^{T}AI} =\mathbf {0} \end{aligned}}}$

由KCL${\displaystyle \mathbf {AI} =\mathbf {0} }$，則：

${\displaystyle \sum _{k=1}^{b}U_{k}I_{k}=\mathbf {U^{T}} \mathbf {I} =0}$

應用

許多物理系統都可以進行網絡模擬以分析其動力學性質。特勒根定理對這些網絡都適用，其中應用得最多的還是傳統的電路分析領域。特勒根定理在濾波器設計方面有廣泛的應用。

特勒根定理還可以應用於生化過程的研究。類似熱力學不可逆的動力學系統可以模擬為滿足基爾霍夫定律的電路，再運用特勒根定理來研究反應網絡的拓撲結構（例如反應機理與代謝網絡）。

特勒根定理亦可用於求複雜系統如化工廠和煉油廠的穩定性和優化方案。類似的有生產節點和物流鏈的過程系統均可用特勒根定理分析其生產與消費。

描述過程系統的特勒根定理形如：

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n_{P}}W_{j}{\frac {\operatorname {d} Z_{j}}{\operatorname {d} t}}=\sum _{k=1}^{n_{f}}W_{k}f_{k}+\sum _{j=1}^{n_{P}}w_{j}p_{j}+\sum _{j=1}^{n_{t}}w_{j}t_{j},\quad j=1,\dots ,n_{p}+n_{t}}$

式中${\displaystyle p_{j}}$表示生產，${\displaystyle t_{j}}$表示連接終端，${\displaystyle {\frac {\operatorname {d} Z_{j}}{\operatorname {d} t}}}$表示動態倉儲。