特徵多項式

提示：此條目的主題不是特徵方程式。

在線性代數中，對一個線性自同態（取定基即等價於方陣）可定義其特徵多項式，此多項式包含該自同態的一些重要性質，例如行列式、跡數及特徵值。

定義

設 ${\displaystyle \mathbb {F} }$ 為域（例如實數或複數域），對佈於 ${\displaystyle \mathbb {F} }$ 上的 ${\displaystyle n\times n}$ 矩陣 ${\displaystyle A}$，定義其特徵多項式為

${\displaystyle p_{A}(t):=\det(tI_{n}-A)\in \mathbb {F} [t]}$

這是一個 ${\displaystyle n}$ 次多項式，其首項係數為一。

一般而言，對佈於任何交換環上的方陣都能定義特徵多項式。

性質

當 ${\displaystyle A}$ 為上三角矩陣（或下三角矩陣）時，${\displaystyle p_{A}(t)=\prod _{i=1}^{n}(t-\lambda _{i})}$，其中 ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$ 是主對角線上的元素。

對於二階方陣，特徵多項式能表為 ${\displaystyle p_{A}(t)=t^{2}-\mathrm {tr} (A)t+\det(A)}$。一般而言，若 ${\displaystyle p_{A}(t)=t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\ldots +a_{0}}$，則 ${\displaystyle a_{0}=(-1)^{n}\det(A)}$，${\displaystyle a_{n-1}=-\mathrm {tr} (A)}$。

此外：

• 特徵多項式在基變更下不變：若存在可逆方陣 ${\displaystyle C}$ 使得 ${\displaystyle B=C^{-1}AC}$，則 ${\displaystyle p_{A}(t)=p_{B}(t)}$。
• 對任意兩方陣 ${\displaystyle A,B}$，有 ${\displaystyle p_{AB}(t)=p_{BA}(t)}$。一般而言，若 ${\displaystyle A}$ 為 ${\displaystyle m\times n}$ 矩陣，${\displaystyle B}$ 為 ${\displaystyle n\times m}$ 矩陣（設 ${\displaystyle m<n}$），則 ${\displaystyle p_{AB}(t)=t^{m-n}p_{BA}(t)}$
• 凱萊-哈密頓定理：${\displaystyle p_{A}(A)=0}$。