猴鞍面

數學中，猴鞍面（monkey saddle）是方程

${\displaystyle z=x^{3}-3xy^{2}}$

定義的曲面。用圓柱坐標系也可寫作

${\displaystyle z=\rho ^{3}\cos(3\varphi ).}$

猴鞍面

猴鞍面屬於鞍面，名稱來源於這樣的觀察：給猴子準備的鞍需要兩個凹陷來放腿，一個凹陷來放尾巴。猴鞍面的原點對應${\displaystyle z(x,\ y)}$在原點的退化臨界點。猴鞍面有一個孤立的臍點，原點處的高斯曲率為零，而在所有其他點的曲率都是嚴格負的。 可通過複數將直角坐標與圓柱坐標聯繫起來：

${\displaystyle z=x^{3}-3xy^{2}=\operatorname {Re} [(x+iy)^{3}]=\operatorname {Re} [r^{3}e^{3i\varphi }]=r^{3}\cos(3\varphi ).}$

將圓柱方程中的3替換為任意整數${\displaystyle k\geq 1}$，就可以得到具有k凹陷的鞍面。 ^[1]

猴鞍面的另一個方向是由${\displaystyle x+y+z+xyz=0}$定義的Smelt花瓣，因此猴鞍面的z軸對應Smelt花瓣中的${\displaystyle (1,1,1)}$方向。^[2][3]

Smelt花瓣：${\displaystyle x+y+z+xzy=0}$

馬鞍面

馬鞍面（horse saddle）指${\displaystyle z(x,\ y)}$在x-y平面的每個方向上都有一個鞍點、局部最小值或最大值的普通鞍面。相比之下，猴鞍面在每個方向上都有靜止的拐點。