獨立性 (數理邏輯)

在數理邏輯上，獨立性指的是一個句子相對於其他句子的不可證明性。

若一個句子${\displaystyle \sigma }$獨立於一個一階理論（英語：Theory (mathematical logic)）${\displaystyle T}$，那就表示說${\displaystyle \sigma }$在${\displaystyle T}$中是不能證明也不能否證的，也就是說不能由${\displaystyle T}$證明${\displaystyle \sigma }$，也不能由${\displaystyle T}$證明${\displaystyle \sigma }$為偽。對於這樣的${\displaystyle \sigma }$，有時會說${\displaystyle \sigma }$在${\displaystyle T}$中是不可判定的，而這裡的「不可判定」跟決定性問題中的「不可判定」是不同的。

若理論${\displaystyle T}$中的每項公設都不能由${\displaystyle T}$中的其他公設證明，則說${\displaystyle T}$是獨立的，一個有著獨立公設集合的理論又稱可獨立公設化的。

用法注意

在一些作者的用法下，「${\displaystyle \sigma }$獨立於${\displaystyle T}$」只表示「${\displaystyle \sigma }$在${\displaystyle T}$中是不能證明的」，但不表示${\displaystyle \sigma }$是不能否證的，而這些作者在講說「${\displaystyle \sigma }$在${\displaystyle T}$中是不能證明也不能否證的」時候，常會說「${\displaystyle \sigma }$是獨立且自洽於${\displaystyle T}$的。」

集合論中的獨立結果

• 選擇公理
• 連續統假設
• 蘇斯林問題

在假定ZFC（帶有選擇公理的策梅洛-弗蘭克爾集合論）本身自洽的狀況下，下述的問題是獨立於ZFC的：

• 強不可達基數的存在性
• 大基數的存在性
• 庫瑞巴樹（英語：Kurepa tree）的存在性

下述的問題不相容於選擇公理，故不與ZFC相容；然而這些問題很可能獨立於ZF；換句話說下述的問題不能在ZF中證明，且只有少數的集合論專家期望在ZF中找到這些問題的否證；然而即使ZF是自洽的，也無法以ZF證明下述的問題獨立於ZF：

• 決定公理
• 實決定公理（英語：Axiom of real determinacy）
• AD+（英語：AD+）

在物理理論上的應用

自2000年起，學界開始認為邏輯獨立性在物理基礎上扮演著關鍵角色。^[1][2]

參見

• ZFC系統無法確定的命題列表
• 幾何等領域的平行公設