生成矩陣

關於概率論中的生成矩陣，請見「轉移率矩陣」。

在編碼理論中，生成矩陣（英語：generator matrix）是一個矩陣，該矩陣的行是線性碼的一組基。所有碼字都是該矩陣的行的線性組合，也就是說，線性碼是其生成矩陣的行空間。

術語

若 G 為一矩陣，它生成線性碼 C 的碼字（英語：codeword）的方式為，

w = s G,

其中 w 是線性碼 C 的一個碼字，而 s 是任意向量。^[1] 線性 ${\displaystyle [n,k,d]_{q}}$ 碼的生成矩陣的格式為 ${\displaystyle k\times n}$，其中 n 為碼字的長度，k 為信息比特的數量（作為向量子空間的 C 的維數），d 為碼的最小距離，而 q 為有限域的大小, 即字典中符號的個數（因此 q = 2 表示二元碼（英語：binary code），等等。）冗餘比特的數量用 r = n - k 表示。

生成矩陣的標準形式為，^[2]

${\displaystyle G={\begin{bmatrix}I_{k}|P\end{bmatrix}}}$,

其中 ${\displaystyle I_{k}}$ 是 k×k 單位矩陣而 P 是 k×r 矩陣。當生成矩陣為標準形式時，碼 C 在其前 k 個坐標位置為系統碼（英語：Systematic code）。^[3]

生成矩陣可以用來構建一個碼的奇偶檢驗矩陣（反過來也可以）。如果生成矩陣 G 是標準形式 ${\displaystyle G={\begin{bmatrix}I_{k}|P\end{bmatrix}}}$，那麼 C 奇偶校驗矩陣就是^[4]

${\displaystyle H={\begin{bmatrix}-P^{\top }|I_{n-k}\end{bmatrix}}}$,

其中 ${\displaystyle P^{\top }}$ 是 ${\displaystyle P}$ 矩陣的轉置。這是由於 ${\displaystyle C}$ 的奇偶檢驗矩陣是對偶碼 ${\displaystyle C^{\perp }}$ 的一個生成矩陣。

等價碼

如果一個碼可以由另一個碼通過下列兩種變換得到的話，則碼 C₁ 與碼 C₂ 是等價的（記為C₁ ~ C₂）： ^[5]

1. 任意排列碼的位置
2. 將固定位置上的做置換

等價碼的最小距離相同。

參見

• (7,4)漢明碼（英語：Hamming code (7,4)）