電磁波方程式

在電磁學裏，電磁波方程式（英語：Electromagnetic wave equation）乃是描述電磁波傳播於介質或真空的二階微分方程式。電磁波的波源是局域化的含時電荷密度和電流密度，假若波源為零，則電磁波方程式約化為二階齊次微分方程式（英語：homogeneous differential equation）。這方程式的形式，以電場${\displaystyle \mathbf {E} \,\!}$和磁場${\displaystyle \mathbf {B} \,\!}$來表達為

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {E} \ =\ 0\,\!}$、

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {B} \ =\ 0\,\!}$；

其中，${\displaystyle \nabla ^{2}\,\!}$是拉普拉斯算符，${\displaystyle c\,\!}$是電磁波在真空或介質中傳播的速度，${\displaystyle t\,\!}$是時間。

由於光波就是電磁波，${\displaystyle c\,\!}$也是光波傳播的速度，稱為光速。在真空裏，${\displaystyle c=c_{0}=299,792,458\,\!}$ ［公尺／秒］，是電磁波傳播於自由空間的速度。

歷史

參見：馬克士威方程組的歷史

在詹姆斯·馬克士威的1864年論文《電磁場的動力學理論》內，馬克士威將位移電流與其它已成立的電磁方程式合併，因而得到了描述電磁波的波動方程式。最令人振奮的是，這方程式所描述的波動的波速等於光波的速度。他這樣說^[1] ：

這些殊途一致的結果，似乎意味著光波與電磁波都是同樣物質的屬性，並且，光波是按照著電磁定律傳播於電磁場的電磁擾動。
— 詹姆斯·馬克士威

理論推導

在真空裏，馬克士威方程組的四個微分方程式為

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =0\,\!}$、(1)

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\,\!}$、(2)

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0\,\!}$、(3)

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\,\!}$；(4)

其中，${\displaystyle \mu _{0}\,\!}$是真空磁導率，${\displaystyle \varepsilon _{0}\,\!}$是真空電容率。

分別取公式(2)、(4)的旋度，

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {E} )=-{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {B} )=-\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}\,\!}$、

${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=\mu _{0}\varepsilon _{0}{\frac {\partial }{\partial t}}(\nabla \times \mathbf {E} )=-\mu _{o}\varepsilon _{o}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}\,\!}$。

應用一則向量恆等式（這裏，${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {V} }$應被理解爲對V的每個分量取拉普拉斯算子，卽拉普拉斯–德拉姆算子）

${\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times \mathbf {V} \right)=\nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {V} \right)-\nabla ^{2}\mathbf {V} \,\!}$；

其中，${\displaystyle \mathbf {V} \,\!}$是任意向量函數。

將公式(1)、(3)代入，即可得到亥姆霍茲方程式形式的波動方程式：

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {E} \ =\ 0\,\!}$、(5)

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{{c}^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\right)\mathbf {B} \ =\ 0\,\!}$；(6)

其中，${\displaystyle c=c_{0}={1 \over {\sqrt {\mu _{0}\varepsilon _{0}}}}=2.99792458\times 10^{8}\,\!}$ ［公尺／秒］是電磁波傳播於自由空間的速度。

齊次的波動方程式的協變形式

電磁四維勢${\displaystyle A^{\mu }\,\!}$是由電位${\displaystyle \phi \,\!}$與向量勢${\displaystyle \mathbf {A} \,\!}$共同形成的，定義為

${\displaystyle A^{\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ (\phi /c,\,\mathbf {A} )\,\!}$。

採用勞侖次規範：

${\displaystyle {\frac {\partial A^{\mu }}{\partial x^{\mu }}}=0\,\!}$。

前述那些齊次的波動方程式(5)、(6)，可以按照反變形式寫為

${\displaystyle \ \Box A^{\mu }=0\,\!}$；

其中，${\displaystyle \Box =\partial ^{\nu }\partial _{\nu }={\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{\nu }\partial x^{\nu }}}={\frac {1}{{c}^{2}}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}\,\!}$是達朗貝爾算子，又稱為四維拉普拉斯算子。

彎曲時空中的齊次的波動方程式

主條目：彎曲時空中的馬克士威方程組

齊次的電磁波方程式在彎曲時空中需要做兩處修正，分別是將偏導數替換為協變導數，以及增加了一項有關時空曲率的項。假設勞侖次規範在彎曲時空中的推廣為

${\displaystyle {A^{\mu }}_{;\mu }\ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {\partial A^{\mu }}{\partial x^{\mu }}}=0\,\!}$。

那麼，彎曲時空中的齊次的波動方程式為

${\displaystyle -{A^{\alpha ;\beta }}_{\beta }+{R^{\alpha }}_{\beta }A^{\beta }=0\,\!}$；

其中，${\displaystyle {R^{\alpha }}_{\beta }\,\!}$是里奇曲率張量。

非齊次的電磁波方程式

主條目：非齊次的電磁波方程式

追根究底，局域化的含時電荷密度和電流密度是電磁波的波源。在有波源的情形下，馬克士威方程組可以寫成一個非齊次的電磁波方程式的形式。正是因為波源的存在，使得偏微分方程式變為非齊次。

波動方程式的解

主條目：波動方程式

在齊次的電磁波方程式中，電場和磁場的每一個分量都滿足純量波動方程式

${\displaystyle {\frac {1}{{c}^{2}}}{\partial ^{2}f \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}f\ =\ 0\,\!}$；(7)

其中，${\displaystyle f\,\!}$是任意良態函數，

純量波動方程式的一般解的形式為

${\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)=g(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)\,\!}$；

其中，${\displaystyle g(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)\,\!}$是任意良態函數，${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$是位置向量，${\displaystyle t\,\!}$是時間，${\displaystyle \mathbf {k} \,\!}$是波向量，${\displaystyle \omega \,\!}$是角頻率。

函數${\displaystyle g(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)\,\!}$描述一個波動，隨著時間的演化，朝著${\displaystyle \mathbf {k} \,\!}$的方向傳播於空間。將函數${\displaystyle g(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)\,\!}$代入純量波動方程式(7)，可得到角頻率與波數的色散關係：

${\displaystyle \omega ^{2}=c^{2}k^{2}\,\!}$，

或者，角頻率一定大於零，但波數可以是負值：

${\displaystyle \omega =c|k|\,\!}$。

正弦波

正弦函數和餘弦函數的曲線是不同相位的正弦曲線。

假設，函數${\displaystyle g\,\!}$的波形為正弦波：

${\displaystyle f=f_{0}\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\phi _{0})\,\!}$；

其中，${\displaystyle {f}_{0}\,\!}$是實值波幅，${\displaystyle \phi _{0}\,\!}$是初相位。

根據歐拉公式，

${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta \,\!}$，

函數${\displaystyle f\,\!}$也可以表達為一個複數的實值部分

${\displaystyle f=\operatorname {Re} \{f_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\phi _{0})}\}\,\!}$。

以上方加有波浪號的符號來標記複值變數。設定複值函數${\displaystyle {\tilde {f}}\,\!}$為

${\displaystyle {\tilde {f}}=f_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\phi _{0})}={\tilde {f}}_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,\!}$；

其中，${\displaystyle {\tilde {f}}_{0}=f_{0}e^{i\phi _{0}}\,\!}$是複值波幅。

那麼，

${\displaystyle f=\operatorname {Re} \{{\tilde {f}}\}\,\!}$；

純量波動方程式的正弦波解的形式為${\displaystyle {\tilde {f}}\,\!}$的實值部分。任意涉及實函數${\displaystyle f\,\!}$的線性方程式，都可以用複函數${\displaystyle {\tilde {f}}\,\!}$來代替${\displaystyle f\,\!}$。最後得到的複值答案，只要取實值部分，就可以得到描述實際物理的答案。但是，當遇到非線性方程式，必須先轉換為實值函數，才能夠確保答案的正確性。

由於指數函數比三角函數容易計算，在很多場合，都可以使用這技巧。

線性疊加

任意波動${\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)\,\!}$可以表達為一個無限集合的不同頻率的正弦波的線性疊加：

${\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)=\int _{0}^{\infty }{\tilde {f}}_{0}(\mathbf {r} ,\omega )e^{-i\omega t}\ d\omega \,\!}$。

所以，只要能得知單獨頻率的波動${\displaystyle {\tilde {f}}_{0}(\mathbf {r} ,\omega )\,\!}$（單色波）的表達式，就可以求算整個波動${\displaystyle f(\mathbf {r} ,t)\,\!}$的表達式。

齊次的電磁波方程式的解

單色正弦平面波的解

電磁波是橫波，電場方向與磁場方向相互垂直，又都垂直於傳播方向。

主條目：電磁波方程式的單色正弦平面波解

從前面的分析，可以猜到齊次的電磁波方程式的單色正弦平面波的解為：

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} ,t)={\tilde {\mathbf {E} }}_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,\!}$、

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {B} }}(\mathbf {r} ,t)={\tilde {\mathbf {B} }}_{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\,\!}$；

其中，${\displaystyle {\tilde {\mathbf {E} }}_{0}\,\!}$、${\displaystyle {\tilde {\mathbf {B} }}_{0}\,\!}$分別為複值電場${\displaystyle {\tilde {\mathbf {E} }}}$和複值磁場${\displaystyle {\tilde {\mathbf {B} }}}$的複常數振幅向量。

這兩個方程式顯示出正弦平面波的傳播方向是${\displaystyle \mathbf {k} \,\!}$的方向。由於方程式(1)和(3)，

${\displaystyle \mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} ,t)=\mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}_{0}=0\,\!}$、

${\displaystyle \mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} ,t)=\mathbf {k} \cdot {\tilde {\mathbf {B} }}_{0}=0\,\!}$，

電場和磁場垂直於波向量，波動傳播的方向。所以，電磁波是橫波。

由於法拉第電磁感應定律方程式(2)，

${\displaystyle \nabla \times {\tilde {\mathbf {E} }}=\left(\nabla e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}\right)\times {\tilde {\mathbf {E} }}_{0}=i\mathbf {k} \times {\tilde {\mathbf {E} }}=-{\frac {\partial {\tilde {\mathbf {B} }}}{\partial t}}=i\omega {\tilde {\mathbf {B} }}\,\!}$。

將角頻率與波數的色散關係式${\displaystyle \omega =ck\,\!}$帶入：

${\displaystyle {\tilde {\mathbf {B} }}={\frac {\mathbf {k} }{\omega }}\times {\tilde {\mathbf {E} }}={\frac {1}{c}}{\hat {\mathbf {k} }}\times {\tilde {\mathbf {E} }}\,\!}$。

所以，電場與磁場相互垂直於對方；磁場的大小等於電場的大小除以光速。

電磁波譜分解

電磁波譜顯示出不同種類的電磁波的頻率值域和波長值域。可見光譜只佔有寬廣的電磁波譜的一小部分。

由於馬克士威方程組在真空裡的線性性質，其解答可以分解為一集合的正弦波。將這集合的正弦波的疊加在一起，又可以形成原本的解答。這是傅立葉變換方法解析微分方程式的基礎概念。電磁波方程式的正弦波解的形式為

${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\,\!}$、

${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {B} _{0}\cos(\omega t-\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} +\phi _{0})\,\!}$。

波向量與角頻率的關係為

${\displaystyle k=|\mathbf {k} |={\omega \over c}={2\pi \over \lambda }\,\!}$；

其中，${\displaystyle \lambda \,\!}$是波長。

按照波長長短，從長波開始，電磁波可以分類為電能、無線電波、微波、紅外線、可見光、紫外線、X-射線和伽馬射線等等。普通實驗使用的光譜儀就足以分析從2  奈米到2500 奈米波長的電磁波。使用這種儀器，可以得知物體、氣體或甚至恆星的詳細物理性質。這是天文物理學的必備儀器。例如，氫原子會發射波長為21.12公分的無線電波。

圓柱對稱性解

原柱對稱形共軸傳輸線

如圖右，思考一條由半徑為${\displaystyle a\,\!}$的無窮長的直導線，和半徑為${\displaystyle b\,\!}$的無窮長的圓柱導電管，所組成的共軸傳輸線。假設這傳輸線與z-軸平行。由於共軸傳輸線的內部有一條直導線，不是空心的，它可以傳輸${\displaystyle E_{z}=0\,\!}$和${\displaystyle B_{z}=0\,\!}$的電磁橫波，採用圓柱坐標${\displaystyle (s,\phi ,z)\,\!}$，在傳輸線的內部空間，電場和磁場分別為^[2]

${\displaystyle {\mathbf {E} }(\mathbf {r} ,t)={\frac {{\mathbf {E} }_{0}}{s}}\cos(kz-\omega t){\hat {s}}\,\!}$、

${\displaystyle {\mathbf {B} }(\mathbf {r} ,t)={\frac {\mathbf {E} _{0}}{cs}}\cos(kz-\omega t){\hat {\phi }}\,\!}$。

這一組方程式顯示出電磁波方程式的圓柱對稱性解的一種形式。

球對稱性解

思考一個位於原點的振盪中的磁偶極矩${\displaystyle m=m_{0}\cos(\omega t)\,\!}$。這磁偶極矩會發射出電磁波，從原點往無窮遠輻射出去。採用球坐標${\displaystyle (r,\theta ,\phi )\,\!}$，則在離原點很遠的位置${\displaystyle \mathbf {r} \,\!}$，電場和磁場分別為^[2]

${\displaystyle {\mathbf {E} }(\mathbf {r} ,t)={\frac {\mathbf {E} _{0}\sin \theta }{r}}\left[\cos(kr-\omega t)-{\frac {1}{kr}}[\sin(kr-\omega t)\right]{\hat {\phi }}\,\!}$、

${\displaystyle {\mathbf {B} }(\mathbf {r} ,t)=-{\frac {\mathbf {E} _{0}\sin \theta }{cr}}\left[\cos(kr-\omega t)-{\frac {1}{kr}}[\sin(kr-\omega t)\right]{\hat {\theta }}\,\!}$。

這是一組滿足電磁波方程式的球面波方程式。

參閱

理論與實驗

電磁模型（英語：electromagnetic modeling） 電磁輻射 電磁場的數學表述 偏導 光學

推遲勢 傑斐緬柯方程式 相對論 量子電動力學 雙縫實驗中光子的動力學

應用領域

彩虹 宇宙微波背景輻射 雷射 核融合 X-射線 雷達

天線 光子學 微波爐 全像攝影 顯微鏡 望遠鏡