蓋爾曼矩陣

蓋爾曼矩陣，以物理學家默里·蓋爾曼命名，為SU(3)群無窮小生成元的一種表象。此群的李代數維度為8，因此有8組線性獨立的生成元，可寫為${\displaystyle g_{i}}$，i值從1到8。

默里·蓋爾曼

特殊表象

${\displaystyle \lambda _{i}}$（i=1到8）表示如下：^[1]:283-288

${\displaystyle \lambda _{1}={\begin{bmatrix}0&1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{2}={\begin{bmatrix}0&-i&0\\i&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle \lambda _{4}={\begin{bmatrix}0&0&1\\0&0&0\\1&0&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{5}={\begin{bmatrix}0&0&-i\\0&0&0\\i&0&0\end{bmatrix}}}$
${\displaystyle \lambda _{6}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&1&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{7}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&-i\\0&i&0\end{bmatrix}}}$	${\displaystyle \lambda _{8}={\frac {1}{\sqrt {3}}}{\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{bmatrix}}}$

這八個${\displaystyle \lambda _{i}}$矩陣是厄米的，滿足對易關係：

${\displaystyle [g_{i},g_{j}]=if^{ijk}g_{k}\,}$

其中，

${\displaystyle g_{i}={\frac {\lambda _{i}}{2}}\,}$

上面出現的${\displaystyle g_{i}}$是按照「歸一化」條件

${\displaystyle Tr(g_{i}g_{i})=1/2\,}$

重新定義的蓋爾曼矩陣，是物理中常用的歸一化形式。

${\displaystyle f^{ijk}}$關於三個指標i,j,k，是全反對稱的。它們的非零分量為

${\displaystyle f^{123}=1\ ,\quad f^{147}=f^{165}=f^{246}=f^{257}=f^{345}=f^{376}={\frac {1}{2}}\ ,\quad f^{458}=f^{678}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\ .}$

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