盲信號分離

盲信號分離（信號分離，盲信號源分離）指的是從多個觀測到的混合信號中分析出沒有觀測的原始信號。通常觀測到的混合信號來自多個傳感器的輸出，並且傳感器的輸出信號獨立（線性不相關）。盲信號的「盲」字強調了兩點：1)原始信號並不知道；2)對於信號混合的方法也不知道^[1]。最常用在的領域是在訊號處理^[2]，且牽涉到對混合訊號的分析。盲信號分離最主要的目標就是將原始的信號還原出原始單一的訊號。^[1]一個經典的例子是雞尾酒會效應，當許多人一起在同一個空間裡說話的時候，聽者可以專注於某一個人說的話上，人類的大腦可以即時處理這類的語音訊號分離問題，但是在數位語音處理裡，這個問題還是一個困難的問題。^[3]

盲信號分離在早期時集中於研究時間訊號，像是聲音，然而，盲信號分離目前已經可以應用在多維度的資料上，例如圖片和張量這類不含時間維度的數據。^[4]

這個問題到目前為止還沒有很好的解決方案，但是在一些特定的情況下，有一些很有用的解決方式。例如，當時間沒有延遲的時候，我們可以採用主成分分析或獨立成分分析。儘管這個問題已經有許多解決方式，科學家們仍然在持續對其進行研究。^[5]

問題基本描述

如果可以對信號混合的方式直接建模，當然是最好的方法。但是，在盲信號分離中我們並不知道，信號混合的方式，所以，只能採用統計的方法。算法做出了如下的假定：

具有 ${\displaystyle m}$ 個獨立的信號源 ${\displaystyle s_{1}(t),...,s_{m}(t)}$ 和 ${\displaystyle n}$ 個獨立的觀察量 ${\displaystyle x_{1}(t),...,x_{n}(t)}$，觀察量和信號源具有如下的關係

${\displaystyle \mathbf {x} (t)=A\mathbf {s} (t)}$

其中 ${\displaystyle \mathbf {x} (t)={[x_{1}(t),...,x_{n}(t)]}^{T}}$, ${\displaystyle \mathbf {s} (t)={[s_{1}(t),...,s_{m}(t)]}^{T}}$, ${\displaystyle A}$ 是一個 ${\displaystyle {n}\times {m}}$ 的係數矩陣，原問題變成了已知 ${\displaystyle \mathbf {x} (t)}$ 和 ${\displaystyle \mathbf {s} (t)}$ 的獨立性，求對 ${\displaystyle \mathbf {s} (t)}$ 的估計問題。

假定有如下公式

${\displaystyle \mathbf {y} (t)=W\mathbf {x} (t)}$

其中 ${\displaystyle \mathbf {y} (t)}$ 是對 ${\displaystyle \mathbf {s} (t)}$ 的估計，${\displaystyle W}$ 是一個 ${\displaystyle {m}\times {n}}$ 係數矩陣，問題變成了如何有效的對矩陣 ${\displaystyle W}$ 做出估計。^[1]

問題基本假設

1. 各源信號 ${\displaystyle s_{i}(t)}$ 均為零均值信號，實隨機變量，信號之間統計獨立。如果源信號 ${\displaystyle s_{i}(t)}$ 的概率密度為 ${\displaystyle p_{i}(s_{i})}$，則 ${\displaystyle s(t)}$ 的概率密度為 ${\displaystyle p(s)=\prod _{i=1}^{n}p_{i}(s_{i})}$。
2. 源信號數目 ${\displaystyle m}$ 小於等於觀察信號數目 ${\displaystyle n}$，即 ${\displaystyle m\leq n}$。混合矩陣 ${\displaystyle A}$ 是一個 ${\displaystyle n\times {m}}$ 的矩陣，一般會假設 ${\displaystyle A}$ 滿秩(${\displaystyle \mathrm {rank} (A)=m}$)。
3. 源信號中只允許有一個高斯分布，因為任意數量的獨立高斯分布和依舊是高斯分布，這意味著當多於一個高斯分布時，源信號變得不可分(難以分辨)。^[1]

自然梯度解法

自然梯度法的計算公式為：${\displaystyle W(n+1)=W(n)+\eta (n)[I-\phi (y(n))y^{T}(n)]W(n)}$

其中${\displaystyle W}$為我們需要估計的矩陣。${\displaystyle \eta (n)}$為步長,${\displaystyle \phi (y)}$是一個非線性變換，比如${\displaystyle \phi (y)=\phi (y^{3})}$

實際計算時y為一個${\displaystyle m\times k}$矩陣，m為原始信號個數，k為採樣點個數

算法描述

1)初始化W(0)為單位矩陣

2)循環執行如下的步驟,直到W(n+1)與W(n)差異小於規定值${\displaystyle \tau }$(計算矩陣差異的方法可以人為規定)，有時候也人為規定迭代次數

3)利用公式${\displaystyle y(n)=W(n)y(n-1)}$,(其中${\displaystyle y(-1)=x}$)

4)利用公式${\displaystyle W(n+1)=W(n)+\eta (n)[I-\phi (y(n))y^{T}(n)]W(n)}$^[1]

深度學習解法

有一部分的論文是用非線性回歸的技術來找出，而說到經典的作法，就要提到 Hershey, John R.的論文^[6]，要解決的是盲信號分離，作法是將時頻譜的抽樣時刻和頻率，利用神經網路和集群來分成不同群，每一群代表的是哪一個講話者在那個抽樣裡佔了最大的比例，這種方法稱為"deep clustering"，有許多論文都是在這上面做延伸^[7]。

然而利用時頻譜來作為訊號的特徵有幾項缺點：

• 短時距傅立葉變換是一個通用的訊號轉換，然而在訊號分離的任務上，未必是最佳的訊號特徵。

• 在反短時距傅立葉變換時，需要重建原始訊號的相位（phase），即使可以分離出跟原始信號一樣的時頻譜，然而具有偏差的估計會影響到重建訊號的準確度。

• 利用時頻譜來做訊號分離是需要混和訊號高解析度的頻率分解，要用橫跨較長時間的窗函數來做短時距傅立葉變換，這個會增加系統的延遲，不利於即時的語音處理任務，像是在電信設備中的應用。^[8]

這些問題都發生在用時頻譜來做訊號分離，而最直覺的解決方式就是直接在時域上做，這樣就可以避免將聲音的大小聲和相位做分離。其中表現的最好的就是Conv-Tasnet^[9]這個方法，Conv-Tasnet可分為三個區塊，編碼器（encoder）、分離器（separator）和解碼器（decoder），編碼器將一小段的混和訊換轉換為在特徵空間（feature space）上的特徵向量，藉由這個特徵向量，分離器要找出一個相對應的遮罩（mask），將特徵向量和遮罩做相乘後，再用解碼器將其轉換為原始訊號源所發出的單一訊號。

歷史

盲信號分離最早由Herault和Jutten在1985年提出，發表在一篇法文雜誌上^[10]。隨後他們相繼發表文章對盲信號問題做出分析，提出了一種自適應的方法^[11]。其他一些學者對他們的方法進行了分析^[12]，分析了他們提出的方法的穩定性，在他們工作的基礎上^[13]，引入了神經網絡的方法對盲信號進行分離，並對其穩定性進行了分析。